Um sistema de controle com retroação unitária tem a seguinte função de transferência G(s)=\frac{K(s+a)}{s(s+b)\left(s^{2}+c s+d\right)}. Os valores nominais são \mathrm{K}=20, \mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=6, \mathrm{c}=4 \mathrm{e} \mathrm{d}=8
Determine a sensibilidade em relação b

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha direta
G(s)=\frac{K(s+a)}{s(s+b)\left(s^{2}+c s+d\right)}
com valores nominais K=20,\; a=3,\; b=6,\; c=4,\; d=8. Pede-se "determinar a sensibilidade em relação b". Vou entender isto como pedir a sensibilidade da função de transferência em malha fechada (sistema com realimentação unitária) em relação ao parâmetro b.
Informações relevantes listadas:
\text{Malha unitária},\qquad G(s)=\frac{K(s+a)}{s(s+b)(s^{2}+c s+d)},\qquad K=20,\;a=3,\;b=6,\;c=4,\;d=8.á
A pergunta é: obter a expressão para a sensibilidade de T(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)} em relação a b.

Passo 2

Definição e conceito: a sensibilidade relativa de uma função T em relação a um parâmetro p é
S_{p}^{T}(s)=\frac{p}{T(s)}\frac{\partial T(s)}{\partial p}.
Isto mede a variação percentual de T frente a uma variação percentual pequena em p. Aqui p=b e T(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}. Vou aplicar diretamente essa definição. Antes, lembro uma identidade útil que facilita as contas: para T=\dfrac{G}{1+G},
\frac{\partial T}{\partial b}=\frac{\partial}{\partial b}\left(\frac{G}{1+G}\right) =\frac{\frac{\partial G}{\partial b}}{(1+G)^{2}}.
Explico rapidamente por que: derivando quociente G/(1+G) em relação a b (\partial_b G)(1+G)-G(\partial_b G) sobre (1+G)^2, e o numerador simplifica para \partial_b G.

Passo 3

Usando a definição da sensibilidade e a identidade do passo anterior:
S_{b}^{T}(s)=\frac{b}{T}\frac{\partial T}{\partial b} =\frac{b}{T}\cdot\frac{\partial_b G}{(1+G)^{2}}.
Agora uso que T=\dfrac{G}{1+G}, logo \dfrac{1}{T}=\dfrac{1+G}{G}. Substituindo:
S_{b}^{T}(s)=b\cdot\frac{1+G}{G}\cdot\frac{\partial_b G}{(1+G)^{2}} =\frac{b\,\partial_b G}{G(1+G)}.
Portanto a sensibilidade pode ser escrita em termos de G e de \partial_b G como
S_{b}^{T}(s)=\frac{b\,\partial_b G(s)}{G(s)\big(1+G(s)\big)}.

Passo 4

Cálculo de \partial_b G(s). Escrevo G(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)} com N(s)=K(s+a) e D(s)=s(s+b)(s^{2}+c s+d). O parâmetro b aparece apenas em D no fator (s+b). Calculo:
\frac{\partial D}{\partial b}=s\cdot 1\cdot (s^{2}+c s+d)=s(s^{2}+c s+d).
Derivando G=N/D em relação a b:
\partial_b G = -\frac{N\,\partial_b D}{D^{2}} = -\frac{K(s+a)\,s(s^{2}+c s+d)}{D^{2}}.
Agora observo que \dfrac{K(s+a)}{D}=G e que \dfrac{s(s^{2}+cs+d)}{D}=\dfrac{1}{s+b} (pois D=s(s+b)(s^{2}+cs+d)). Assim
\partial_b G = -G\cdot\frac{1}{s+b}.
Esta é uma simplificação muito conveniente: a derivada parcial de G em relação a b é \partial_b G(s)=-\dfrac{G(s)}{s+b}.

Passo 5

Substituo \partial_b G em S_{b}^{T}:
S_{b}^{T}(s)=\frac{b\cdot\big(-\dfrac{G}{s+b}\big)}{G(1+G)} = -\frac{b}{(s+b)\big(1+G(s)\big)}.
Interpretação: a sensibilidade da malha fechada em relação a b é proporcional à função de sensibilidade clássica S(s)=\dfrac{1}{1+G(s)} multiplicada por -\dfrac{b}{s+b}. Em outras palavras,
S_{b}^{T}(s)=-\frac{b}{s+b}\cdot\frac{1}{1+G(s)}.

Passo 6

Opcional: escrever S_{b}^{T} em termos dos polinômios do denominador D e do numerador N. Como 1+G=\dfrac{D+N}{D}, temos
S_{b}^{T}(s)=-\frac{b}{s+b}\cdot\frac{D}{D+N}.
Como \dfrac{D}{s+b}=s(s^{2}+cs+d), obtemos uma forma sem fração em fração:
S_{b}^{T}(s)=-\frac{b\;s\,(s^{2}+c s+d)}{D+N}.

Passo 7

Substituindo os valores nominais K=20,\;a=3,\;b=6,\;c=4,\;d=8 na forma polinomial final: primeiro calculo D+N.
D=s(s+6)(s^{2}+4s+8)=s^{4}+10s^{3}+32s^{2}+48s
e
N=20(s+3)=20s+60,
logo
D+N=s^{4}+10s^{3}+32s^{2}+68s+60.
O numerador com b=6 e c=4,d=8 é
-6\,s\,(s^{2}+4s+8)=-6s^{3}-24s^{2}-48s.
Portanto, para os valores nominais a sensibilidade fica
S_{b}^{T}(s)=\frac{-6s^{3}-24s^{2}-48s}{s^{4}+10s^{3}+32s^{2}+68s+60}.

Resposta

S_{b}^{T}(s)=-\frac{b}{(s+b)\big(1+G(s)\big)}
\text{Com valores nominais:}\qquad S_{b}^{T}(s)=\frac{-6s^{3}-24s^{2}-48s}{s^{4}+10s^{3}+32s^{2}+68s+60}

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