Um sistema de controle com retroação unitária tem a seguinte função de transferência
. Os valores nominais são
Determine a sensibilidade em relação b
Determine a sensibilidade em relação b
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha direta
com valores nominais
. Pede-se "determinar a sensibilidade em relação
". Vou entender isto como pedir a sensibilidade da função de transferência em malha fechada (sistema com realimentação unitária) em relação ao parâmetro
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
A pergunta é: obter a expressão para a sensibilidade de
em relação a
.
Passo 2
Definição e conceito: a sensibilidade relativa de uma função
em relação a um parâmetro
é
Isto mede a variação percentual de
frente a uma variação percentual pequena em
. Aqui
e
. Vou aplicar diretamente essa definição. Antes, lembro uma identidade útil que facilita as contas: para
,
Explico rapidamente por que: derivando quociente
em relação a
dá
sobre
, e o numerador simplifica para
.
Passo 3
Usando a definição da sensibilidade e a identidade do passo anterior:
Agora uso que
, logo
. Substituindo:
Portanto a sensibilidade pode ser escrita em termos de
e de
como
Passo 4
Cálculo de
. Escrevo
com
e
. O parâmetro
aparece apenas em
no fator
. Calculo:
Derivando
em relação a
:
Agora observo que
e que
(pois
). Assim
Esta é uma simplificação muito conveniente: a derivada parcial de
em relação a
é
.
Passo 5
Substituo
em
:
Interpretação: a sensibilidade da malha fechada em relação a
é proporcional à função de sensibilidade clássica
multiplicada por
. Em outras palavras,
Passo 6
Opcional: escrever
em termos dos polinômios do denominador
e do numerador
. Como
, temos
Como
, obtemos uma forma sem fração em fração:
Passo 7
Substituindo os valores nominais
na forma polinomial final: primeiro calculo
.
e
logo
O numerador com
e
é
Portanto, para os valores nominais a sensibilidade fica