Um sistema de controle com retroação unitária tem a seguinte função de transferência G(s)=\frac{K(s+a)}{s(s+b)\left(s^{2}+c s+d\right)}. Os valores nominais são \mathrm{K}=20, \mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=6, \mathrm{c}=4 \mathrm{e} \mathrm{d}=8
Determine a sensibilidade em relação K

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta com realimentação unitária
G(s)=\frac{K(s+a)}{s(s+b)\left(s^{2}+c s+d\right)}
e os valores nominais \,K=20,\;a=3,\;b=6,\;c=4,\;d=8.
A pergunta é: determinar a sensibilidade em relação a \,K. \n
Informações relevantes recolhidas do enunciado:
G(s)=K\;G_0(s)\quad\text{com}\quad G_0(s)=\frac{s+a}{s(s+b)(s^2+c s+d)}.
Não há outras perguntas; vamos calcular a sensibilidade (função sensibilidade) de \,T(s) em relação a \,K, onde \,T(s) é a função de transferência em malha fechada com realimentação unitária.

Passo 2

Definimos a função de transferência em malha fechada (realimentação unitária) como
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}.
Aqui \,T(s) é o bloco que relaciona a entrada de referência com a saída quando há realimentação unitária. Vou usar a notação \,G_0(s) definida no passo 1 para separar K do resto:
G(s)=K\,G_0(s).

Passo 3

Precisamos definir a sensibilidade que vamos calcular. A sensibilidade relativa (normalizada) de \,T(s) em relação ao parâmetro \,K é dada por
S_K(s)=\frac{K}{T(s)}\frac{\partial T(s)}{\partial K}.
Explicando isso de forma simples: \,S_K(s) diz qual a variação percentual em \,T(s) causada por uma variação percentual em \,K. É a definição padrão de sensibilidade relativa (derivada logarítmica).

Passo 4

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial T(s)}{\partial K}. Começamos escrevendo \,T(s) em termos de \,G_0(s):
T(s)=\frac{K\,G_0(s)}{1+K\,G_0(s)}.
Derivando em relação a \,K (tratando \,s como constante):
\frac{\partial T}{\partial K} =\frac{G_0(s)\big(1+K\,G_0(s)\big)-K\,G_0(s)\cdot G_0(s)}{\big(1+K\,G_0(s)\big)^2} =\frac{G_0(s)}{\big(1+K\,G_0(s)\big)^2}.
Aqui usei a regra do quociente e simplifiquei os termos.

Passo 5

Agora computamos \,S_K(s)=\dfrac{K}{T}\dfrac{\partial T}{\partial K}. Substituindo T e \partial T/\partial K:
\frac{K}{T}=\frac{K}{\dfrac{K\,G_0}{1+K\,G_0}}=\frac{1+K\,G_0}{G_0},
portanto
S_K(s)=\frac{1+K\,G_0(s)}{G_0(s)}\cdot\frac{G_0(s)}{\big(1+K\,G_0(s)\big)^2} =\frac{1}{1+K\,G_0(s)}.
Como G(s)=K\,G_0(s), podemos também escrever
S_K(s)=\frac{1}{1+G(s)}.
Esse é um resultado bem conhecido: a sensibilidade de T em relação a um ganho multiplicativo K é igual à função sensibilidade aberta fechada \,S(s)=1/(1+G(s)).

Passo 6

Escrevemos a expressão explícita usando \,G(s) e substituímos os valores nominais para obter a forma numérica. Primeiro a expressão geral:
S_K(s)=\frac{1}{1+G(s)}=\frac{1}{1+\dfrac{K(s+a)}{s(s+b)(s^2+c s+d)}}.
Multiplicando numerador e denominador pelo polinômio \,s(s+b)(s^2+c s+d) obtemos uma forma racional:
S_K(s)=\frac{s(s+b)(s^2+c s+d)}{s(s+b)(s^2+c s+d)+K(s+a)}.

Passo 7

Agora substituímos os valores nominais \,K=20,\;a=3,\;b=6,\;c=4,\;d=8 (estou usando esses valores porque o enunciado deu eles como nominais). A forma fatorada fica
S_K(s)=\frac{s(s+6)(s^2+4s+8)}{s(s+6)(s^2+4s+8)+20(s+3)}.
Se preferir a forma polinomial expandida, primeiro expandimos s(s+6)(s^2+4s+8):
s(s+6)(s^2+4s+8)=s^4+10s^3+32s^2+48s.
Somando 20(s+3)=20s+60 ao denominador, obtemos
S_K(s)=\frac{s^4+10s^3+32s^2+48s}{s^4+10s^3+32s^2+68s+60}.

Resposta

S_K(s)=\frac{1}{1+G(s)}=\frac{1}{1+\dfrac{K(s+a)}{s(s+b)(s^2+c s+d)}}
\text{Com os valores nominais: }S_K(s)=\frac{s(s+6)(s^2+4s+8)}{s(s+6)(s^2+4s+8)+20(s+3)}=\frac{s^4+10s^3+32s^2+48s}{s^4+10s^3+32s^2+68s+60}

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