Um sistema de controle com retroação unitária tem a seguinte função de transferência
. Os valores nominais são
Determine a sensibilidade em relação
Determine a sensibilidade em relação
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha aberta com realimentação unitária
e os valores nominais
A pergunta é: determinar a sensibilidade em relação a . \n
Informações relevantes recolhidas do enunciado:
A pergunta é: determinar a sensibilidade em relação a
Informações relevantes recolhidas do enunciado:
Não há outras perguntas; vamos calcular a sensibilidade (função sensibilidade) de
em relação a
, onde
é a função de transferência em malha fechada com realimentação unitária.
Passo 2
Definimos a função de transferência em malha fechada (realimentação unitária) como
Aqui
é o bloco que relaciona a entrada de referência com a saída quando há realimentação unitária. Vou usar a notação
definida no passo 1 para separar
do resto:
Passo 3
Precisamos definir a sensibilidade que vamos calcular. A sensibilidade relativa (normalizada) de
em relação ao parâmetro
é dada por
Explicando isso de forma simples:
diz qual a variação percentual em
causada por uma variação percentual em
. É a definição padrão de sensibilidade relativa (derivada logarítmica).
Passo 4
Vamos calcular
. Começamos escrevendo
em termos de
:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Aqui usei a regra do quociente e simplifiquei os termos.
Passo 5
Agora computamos
. Substituindo
e
:
portanto
Como
, podemos também escrever
Esse é um resultado bem conhecido: a sensibilidade de
em relação a um ganho multiplicativo
é igual à função sensibilidade aberta fechada
.
Passo 6
Escrevemos a expressão explícita usando
e substituímos os valores nominais para obter a forma numérica. Primeiro a expressão geral:
Multiplicando numerador e denominador pelo polinômio
obtemos uma forma racional:
Passo 7
Agora substituímos os valores nominais
(estou usando esses valores porque o enunciado deu eles como nominais). A forma fatorada fica
Se preferir a forma polinomial expandida, primeiro expandimos
:
Somando
ao denominador, obtemos