Para que valores de K os polinômios são estáveis
s^{3}+3 s^{2}+(8+K) s+8+K

Passo 1

O enunciado pede: “Para que valores de K os polinômios são estáveis”, sendo o polinômio dado
s^{3}+3 s^{2}+(8+K) s+8+K.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
a_3=1,\qquad a_2=3,\qquad a_1=8+K,\qquad a_0=8+K.
O que precisamos responder: o conjunto de valores de K que faz com que todas as raízes do polinômio tenham parte real negativa (isto é, polinômio estável).

Passo 2

Vou usar o critério de Routh–Hurwitz (tabela de Routh), que é uma ferramenta prática para testar estabilidade sem calcular as raízes explicitamente. Ideia central (explicada de forma simples): para um polinômio com coeficiente líder positivo, todas as raízes terem parte real negativa é equivalente a todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh serem positivos (nenhuma troca de sinal). Portanto, construiremos a tabela e exigiremos que cada entrada da primeira coluna seja positiva.
Como montar a tabela para um polinômio de grau 3: as duas primeiras linhas são formadas pelos coeficientes alternados:
linha s^3: coeficientes a_3,\;a_1.
linha s^2: coeficientes a_2,\;a_0.
A entrada seguinte (linha s^1) é calculada pela fórmula
b_1=\frac{a_2\cdot a_1 - a_3\cdot a_0}{a_2},
e a última linha (linha s^0) é simplesmente a_0.
Explico a fórmula: ela vem da eliminação sucessiva de potências de s para obter uma relação entre as linhas — não precisa decorar, mas saber aplicar e simplificar.

Passo 3

Vamos preencher as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes já coletados:
linha s^3:
1\quad 8+K
linha s^2:
3\quad 8+K
Portanto, na notação de Routh, as entradas relevantes da primeira coluna até agora são 1 (de s^3) e 3 (de s^2).

Passo 4

Calculamos a entrada da linha s^1 usando a fórmula indicada:
b_1=\frac{a_2\cdot a_1 - a_3\cdot a_0}{a_2} =\frac{3(8+K)-1(8+K)}{3}.
Agora simplificamos passo a passo:
3(8+K)-1(8+K)=(3-1)(8+K)=2(8+K)=16+2K,
logo
b_1=\frac{16+2K}{3}.
A última linha s^0 é
a_0=8+K.

Passo 5

Para estabilidade devemos ter todos os elementos da primeira coluna estritamente positivos. As condições são:
  1. da linha s^3: 1>0 — já satisfeita;
  2. da linha s^2: 3>0 — já satisfeita;
  3. da linha s^1: b_1>0, isto é
\frac{16+2K}{3}>0.
Multiplicando ambos os lados por 3>0 (não muda o sinal):
16+2K>0.
Dividindo por 2>0:
K>-8.
  1. da linha s^0: a_0>0, isto é
8+K>0,
que também implica
K>-8.
Portanto as duas condições não-triviais (linhas s^1 e s^0) reduzem-se à mesma desigualdade K>-8.

Passo 6

Verificação de casos fronteira e comentários (importante na prova):
  • Se K=-8 então o polinômio fica s^{3}+3s^{2}, que se fatoriza como s^{2}(s+3). As raízes são 0,0,-3. Como há raízes com parte real igual a zero, o sistema não é assintoticamente estável (na prática em controle isso é considerado instável ou marginalmente estável, e tipicamente não aceito como “estável” no sentido estrito pedido aqui).
  • Se K<-8 então a_0=8+K<0, haverá mudança de sinal na primeira coluna e portanto raízes com parte real positiva — logo instável.
    Portanto, o único intervalo que garante todas as entradas da primeira coluna estritamente positivas é o que obtivemos antes.

Resposta

\;K>-8

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