Para que valores de K os polinômios são estáveis
Passo 1
O enunciado pede: “Para que valores de
os polinômios são estáveis”, sendo o polinômio dado
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que precisamos responder: o conjunto de valores de
que faz com que todas as raízes do polinômio tenham parte real negativa (isto é, polinômio estável).
Passo 2
Vou usar o critério de Routh–Hurwitz (tabela de Routh), que é uma ferramenta prática para testar estabilidade sem calcular as raízes explicitamente. Ideia central (explicada de forma simples): para um polinômio com coeficiente líder positivo, todas as raízes terem parte real negativa é equivalente a todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh serem positivos (nenhuma troca de sinal). Portanto, construiremos a tabela e exigiremos que cada entrada da primeira coluna seja positiva.
Como montar a tabela para um polinômio de grau 3: as duas primeiras linhas são formadas pelos coeficientes alternados:
linha coeficientes
.
linha coeficientes
.
A entrada seguinte (linha ) é calculada pela fórmula
linha
linha
A entrada seguinte (linha
e a última linha (linha
) é simplesmente
.
Explico a fórmula: ela vem da eliminação sucessiva de potências de para obter uma relação entre as linhas — não precisa decorar, mas saber aplicar e simplificar.
Explico a fórmula: ela vem da eliminação sucessiva de potências de
Passo 3
Vamos preencher as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes já coletados:
linha
linha
linha
Portanto, na notação de Routh, as entradas relevantes da primeira coluna até agora são
(de
) e
(de
).
Passo 4
Calculamos a entrada da linha
usando a fórmula indicada:
Agora simplificamos passo a passo:
logo
A última linha
é
Passo 5
Para estabilidade devemos ter todos os elementos da primeira coluna estritamente positivos. As condições são:
- da linha
: — já satisfeita; - da linha
: — já satisfeita; - da linha
: , isto é
Multiplicando ambos os lados por
(não muda o sinal):
Dividindo por
:
- da linha
: , isto é
que também implica
Portanto as duas condições não-triviais (linhas
e
) reduzem-se à mesma desigualdade
.
Passo 6
Verificação de casos fronteira e comentários (importante na prova):
- Se
então o polinômio fica , que se fatoriza como . As raízes são . Como há raízes com parte real igual a zero, o sistema não é assintoticamente estável (na prática em controle isso é considerado instável ou marginalmente estável, e tipicamente não aceito como “estável” no sentido estrito pedido aqui). - Se
então , haverá mudança de sinal na primeira coluna e portanto raízes com parte real positiva — logo instável.
Portanto, o único intervalo que garante todas as entradas da primeira coluna estritamente positivas é o que obtivemos antes.