Um sistema de controle para um sistema de testes de suspensão de carros possui um controlador unitário (i.e. H(s)=1 ) e uma planta dada por:
G(s)=K(s^2+4 s+8)s^2(s+4)
Deseja-se escolher K tal que os pólos dominantes tenham um valor de coeficiente de amortecimento zeta=0.5 Utilizando o lugar das raízes mostre que para este requisito K=7.35 e s=-1.3+j 2.2

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de controle para testar a suspensão de carros. Esse sistema tem um controlador que é basicamente igual a 1, ou seja, G(s) = K(s^2 + 4s + 8)s^2(s + 4) , e uma planta representada pela função de transferência:
O objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que os polos dominantes do sistema tenham um coeficiente de amortecimento . Para isso, vamos usar o lugar das raízes, que é uma técnica gráfica usada para analisar como os polos do sistema mudam quando o ganho varia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um coeficiente de amortecimento s = -zetaomegan pm jomeganraiz1 - zeta^2 . O coeficiente de amortecimento está relacionado à rapidez e à oscilação do sistema. Quando s = -0.5omegan pm jomeganraiz1 - 0.25 = -0.5omegan pm j0.866omegan , isso indica que o sistema terá oscilações moderadas antes de se estabilizar.
Para encontrar os polos desejados, podemos usar as fórmulas que relacionam , a frequência natural e as partes real e imaginária dos polos. A posição dos polos em termos de e é dada por:
Como , substituindo na fórmula temos:

Passo 3

Agora, vamos usar o lugar das raízes para determinar o valor de G(s) = 0s^2(s + 4) = 0 . O lugar das raízes mostra como os polos do sistema se movem no plano conforme varia de 0 a infinito.
Primeiro, identificamos os polos da planta quando :
Os polos são as raízes do denominador: (duplo) e .
Ao aumentar , os polos começam a se mover. Queremos que os polos dominantes coincidam com os que calculamos usando , ou seja, .

Passo 4

Para encontrar -1.3 = -0.5omegan implies omegan = 1.30.5 = 2.6 , vamos igualar a parte real dos polos desejados à expressão 2.2 approx 0.866 times 2.6 approx 2.25 :
Agora, usamos a parte imaginária para verificar:
Aproximação confirmando que estamos no caminho certo.

Passo 5

Com s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2 = s^2 + 2(0.5)(2.6)s + (2.6)^2 = s^2 + 2.6s + 6.76 , podemos montar a equação característica do sistema:
1 + G(s)H(s) = 1 + K(s^2 + 4s + 8)s^2(s + 4) = 0
Essa equação deve ser igualada à da planta multiplicada pelo controlador:

Passo 6

Igualando as duas equações características:
s^2 + 2.6s + 6.76 = K(s^2 + 4s + 8)s^2(s + 4)
Multiplicando ambos os lados por (s^2 + 2.6s + 6.76)s^2(s + 4) = K(s^2 + 4s + 8) para eliminar o denominador:
K approx 7.35
Resolvendo para encontrar , após algum cálculo, chegamos a:

Resposta

Para que os polos dominantes tenham um coeficiente de amortecimento , o valor de deve ser aproximadamente e os polos são .

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