Um sistema de controle para um sistema de testes de suspensão de carros possui um controlador unitário (i.e.
) e uma planta dada por:
Deseja-se escolher
tal que os pólos dominantes tenham um valor de coeficiente de amortecimento
Utilizando o lugar das raízes mostre que para este requisito
e
Passo 1
Então, a gente tem um sistema de controle para testar a suspensão de carros. Esse sistema tem um controlador que é basicamente igual a 1, ou seja,
, e uma planta representada pela função de transferência:
O objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz com que os polos dominantes do sistema tenham um coeficiente de amortecimento
. Para isso, vamos usar o lugar das raízes, que é uma técnica gráfica usada para analisar como os polos do sistema mudam quando o ganho
varia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um coeficiente de amortecimento
. O coeficiente de amortecimento está relacionado à rapidez e à oscilação do sistema. Quando
, isso indica que o sistema terá oscilações moderadas antes de se estabilizar.
Para encontrar os polos desejados, podemos usar as fórmulas que relacionam
, a frequência natural
e as partes real e imaginária dos polos. A posição dos polos em termos de
e
é dada por:
Como
, substituindo na fórmula temos:
Passo 3
Agora, vamos usar o lugar das raízes para determinar o valor de
. O lugar das raízes mostra como os polos do sistema se movem no plano
conforme
varia de 0 a infinito.
Primeiro, identificamos os polos da planta
quando
:
Os polos são as raízes do denominador:
(duplo) e
.
Ao aumentar
, os polos começam a se mover. Queremos que os polos dominantes coincidam com os que calculamos usando
, ou seja,
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos igualar a parte real dos polos desejados à expressão
:
Agora, usamos a parte imaginária para verificar:
Aproximação confirmando que estamos no caminho certo.
Passo 5
Com
, podemos montar a equação característica do sistema:
Essa equação deve ser igualada à da planta multiplicada pelo controlador:
Passo 6
Igualando as duas equações características:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Resolvendo para encontrar
, após algum cálculo, chegamos a:
Resposta
Para que os polos dominantes tenham um coeficiente de amortecimento
, o valor de
deve ser aproximadamente
e os polos são
.