Um sistema de controle para um laser cirúrgico acoplado a um manipulador com motor CC pode ser utilizado em operações ortopédicas de quadris. Tais cirurgias requerem alta precisão de posição e velocidade. O sistema de controle em malha fechada é dado por:
e
Onde
é a constante elétrica do motor CC e
é a constante mecânica do motor CC. O ganho
do controlador deve ser ajustado de tal forma que o erro estático para uma entrada do tipo rampa
(onde
) é menor que 0.1 mm enquanto a estabilidade é mantida. Desejase que o erro durante a operação nunca ultrapasse o valor de 0.1 mm . Calcule o ganho
e proponha uma metodologia de operação que garanta os requisitos acima. Obs: Para o cálculo do sobresinal utilize a hipótese de uma entrada a degrau e admita que os pólos complexos sejam dominantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício sobre sistemas de controle aplicados a um laser cirúrgico com um motor CC. O objetivo é ajustar o ganho
do controlador para que o erro estático, quando a entrada é uma rampa (como um movimento constante), seja menor que 0,1 mm, mantendo a estabilidade do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência, erro estático e como o ganho
influencia no desempenho do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções de transferência do sistema. Temos:
e
Onde:
-
s (constante elétrica) -
s (constante mecânica)
Essas funções de transferência representam como o sistema responde a diferentes entradas. Nosso foco será ajustar
para que o erro esteja dentro do limite desejado.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre erro estático. O erro estático é a diferença entre a entrada e a saída do sistema no estado estacionário, ou seja, depois que o sistema estabiliza após uma entrada constante ou uma rampa. Para uma entrada do tipo rampa
, o erro estático está relacionado à constante de velocidade
.
A constante de velocidade
é dada por:
Onde
é a função de transferência em malha fechada.
Passo 4
Vamos encontrar a função de transferência em malha fechada. Em sistema de malha fechada com realimentação unitária, temos:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, calculamos a constante de velocidade
:
Simplificando quando
:
Isso significa que o erro estático para uma rampa é:
Passo 6
Queremos que o erro estático seja menor que 0,1 mm:
Dado que
, para aumentar
para mais de 10, precisamos ajustar o ganho
. Observando a relação anterior, para
, então:
Passo 7
Agora, vamos verificar a estabilidade e o sobre-sinal. Assumindo que os pólos são complexos dominantes, o sobre-sinal (
) está relacionado ao fator de amortecimento
:
Precisamos escolher
de forma que o sistema permaneça estável e o sobre-sinal seja aceitável. Geralmente, uma escolha equilibrada de
entre 0,5 e 0,7 oferece bom compromisso entre rapidez e amortecimento.
Resposta
O ganho
deve ser maior que 10 para garantir que o erro estático seja menor que 0,1 mm. Além disso, recomenda-se ajustar
de forma que o fator de amortecimento
esteja entre 0,5 e 0,7, assegurando estabilidade com sobre-sinal aceitável durante a operação.