Um sistema de controle para um laser cirúrgico acoplado a um manipulador com motor CC pode ser utilizado em operações ortopédicas de quadris. Tais cirurgias requerem alta precisão de posição e velocidade. O sistema de controle em malha fechada é dado por:
H(s)=K
e
G(s)=1s(tau1 S+1)(tau2 s+1)
Onde T1=0.1 s é a constante elétrica do motor CC e tau2=0.2 s é a constante mecânica do motor CC. O ganho K do controlador deve ser ajustado de tal forma que o erro estático para uma entrada do tipo rampa r(t)=A t (onde A=1 mm / s ) é menor que 0.1 mm enquanto a estabilidade é mantida. Desejase que o erro durante a operação nunca ultrapasse o valor de 0.1 mm . Calcule o ganho K e proponha uma metodologia de operação que garanta os requisitos acima. Obs: Para o cálculo do sobresinal utilize a hipótese de uma entrada a degrau e admita que os pólos complexos sejam dominantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício sobre sistemas de controle aplicados a um laser cirúrgico com um motor CC. O objetivo é ajustar o ganho do controlador para que o erro estático, quando a entrada é uma rampa (como um movimento constante), seja menor que 0,1 mm, mantendo a estabilidade do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência, erro estático e como o ganho influencia no desempenho do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções de transferência do sistema. Temos:
H(s) = K
e
G(s) = 1s(tau1 s + 1)(tau2 s + 1)
Onde:
  • s (constante elétrica)
  • s (constante mecânica)
Essas funções de transferência representam como o sistema responde a diferentes entradas. Nosso foco será ajustar para que o erro esteja dentro do limite desejado.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre erro estático. O erro estático é a diferença entre a entrada e a saída do sistema no estado estacionário, ou seja, depois que o sistema estabiliza após uma entrada constante ou uma rampa. Para uma entrada do tipo rampa Kv = lims to 0 s cdot Gclosed(s) , o erro estático está relacionado à constante de velocidade .
A constante de velocidade é dada por:
Onde é a função de transferência em malha fechada.

Passo 4

Vamos encontrar a função de transferência em malha fechada. Em sistema de malha fechada com realimentação unitária, temos:
Gclosed(s) = G(s)H(s)1 + G(s)H(s)
Substituindo Gclosed(s) = K G(s)1 + K G(s) = Ks(tau1 s + 1)(tau2 s + 1) + K :

Passo 5

Agora, calculamos a constante de velocidade Kv = lims to 0 s cdot Gclosed(s) = lims to 0 K ss(tau1 s + 1)(tau2 s + 1) + K :
Kv = KK = 1
Simplificando quando ess = AKv = 1 , mm/s1 = 1 , mm :
Isso significa que o erro estático para uma rampa é:

Passo 6

Queremos que o erro estático seja menor que 0,1 mm:
ess < 0,1 , mm implies 1Kv < 0,1 implies Kv > 10
Dado que K > 10 , para aumentar para mais de 10, precisamos ajustar o ganho . Observando a relação anterior, para , então:

Passo 7

Agora, vamos verificar a estabilidade e o sobre-sinal. Assumindo que os pólos são complexos dominantes, o sobre-sinal ( %OS = e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) times 100% ) está relacionado ao fator de amortecimento :
Precisamos escolher de forma que o sistema permaneça estável e o sobre-sinal seja aceitável. Geralmente, uma escolha equilibrada de entre 0,5 e 0,7 oferece bom compromisso entre rapidez e amortecimento.

Resposta

O ganho deve ser maior que 10 para garantir que o erro estático seja menor que 0,1 mm. Além disso, recomenda-se ajustar de forma que o fator de amortecimento esteja entre 0,5 e 0,7, assegurando estabilidade com sobre-sinal aceitável durante a operação.

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