Considere sistemas de primeira ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de primeira ordem sem condições iniciais. Precisamos encontrar a resposta ao degrau desse sistema, além de determinar o tempo de subida e o tempo de assentamento. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e equações diferenciais. Vamos precisar resolver a equação diferencial fornecida e entender como o sistema reage a um estímulo de degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo, e
é a entrada do sistema. Como queremos a resposta ao degrau, assumimos que
é uma função degrau unitário, ou seja,
para
.
Passo 3
Vamos determinar a função de transferência do sistema. A função de transferência
relaciona a transformada de Laplace da saída
com a transformada de Laplace da entrada
:
Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial:
Como não temos condições iniciais (
):
Portanto, a função de transferência é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a resposta ao degrau
. Sabemos que a transformada de Laplace de um degrau unitário é
. Então:
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para
:
Para
:
Então:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Passo 5
Com a expressão da resposta ao degrau, podemos esboçar o gráfico. A função
começa em 0 e tende a
conforme
aumenta. A curva é uma exponencial que cresce rapidamente devido ao coeficiente
na exponencial.
Passo 6
Vamos calcular o tempo de assentamento (
) e o tempo de subida (
).
Para sistemas de primeira ordem, o tempo de assentamento é geralmente definido como o tempo necessário para que a resposta permaneça dentro de 2% do valor final. A fórmula para o tempo de assentamento em um sistema de primeira ordem é:
Onde
é a constante de tempo. Da nossa equação,
. Então:
O tempo de subida (
) é o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Para sistemas de primeira ordem,
pode ser calculado usando:
Então:
Resposta
A resposta ao degrau do sistema é
. O tempo de subida é aproximadamente
segundos, e o tempo de assentamento é cerca de
segundos.