Considere sistemas de primeira ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento. doty+4,5 y=8 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de primeira ordem sem condições iniciais. Precisamos encontrar a resposta ao degrau desse sistema, além de determinar o tempo de subida e o tempo de assentamento. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e equações diferenciais. Vamos precisar resolver a equação diferencial fornecida e entender como o sistema reage a um estímulo de degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
doty + 4,5 y = 8 x
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo, e é a entrada do sistema. Como queremos a resposta ao degrau, assumimos que é uma função degrau unitário, ou seja, para .

Passo 3

Vamos determinar a função de transferência do sistema. A função de transferência H(s) = Y(s)X(s) relaciona a transformada de Laplace da saída s Y(s) - y(0) + 4,5 Y(s) = 8 X(s) com a transformada de Laplace da entrada (s + 4,5) Y(s) = 8 X(s) :
H(s) = 8s + 4,5
Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial:
Como não temos condições iniciais ( ):
Portanto, a função de transferência é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a resposta ao degrau Y(s) = H(s) cdot X(s) = 8s(s + 4,5) . Sabemos que a transformada de Laplace de um degrau unitário é 8s(s + 4,5) = As + Bs + 4,5 . Então:
8 = A(s + 4,5) + B s
Vamos decompor em frações parciais:
8 = A(0 + 4,5) Rightarrow A = 84,5 approx 1,777
Multiplicando ambos os lados por 8 = B(-4,5) Rightarrow B = -84,5 approx -1,777 :
Y(s) = 1,777s - 1,777s + 4,5
Para y(t) = 1,777 cdot 1 - 1,777 e^-4,5 t = 1,777 (1 - e^-4,5 t) :
Para :
Então:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:

Passo 5

Com a expressão da resposta ao degrau, podemos esboçar o gráfico. A função começa em 0 e tende a conforme aumenta. A curva é uma exponencial que cresce rapidamente devido ao coeficiente na exponencial.

Passo 6

Vamos calcular o tempo de assentamento ( Ts = 4tau ) e o tempo de subida ( Ts = 40,222 approx 18,s ).
Para sistemas de primeira ordem, o tempo de assentamento é geralmente definido como o tempo necessário para que a resposta permaneça dentro de 2% do valor final. A fórmula para o tempo de assentamento em um sistema de primeira ordem é:
Tr approx 2,2 tau
Onde Tr approx 2,2 times 0,222 approx 0,488,s é a constante de tempo. Da nossa equação, . Então:
O tempo de subida ( ) é o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Para sistemas de primeira ordem, pode ser calculado usando:
Então:

Resposta

A resposta ao degrau do sistema é . O tempo de subida é aproximadamente segundos, e o tempo de assentamento é cerca de segundos.

Exercícios relacionados