2.1.2 No sistema coordenado polar esférico, q_{1}=r, q_{2}=\theta, q_{3}=\varphi. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
x=r \operatorname{sen} \theta \cos \varphi, \quad y=r \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi, \quad z=r \cos \theta
(a) Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas: h_{r}, h_{\theta} e h_{\varphi}.
(b) Verifique os fatores de escala que calculou pela relação d s_{i}=h_{i} d q_{i}.

Passo 1

O enunciado pede os fatores de escala do sistema de coordenadas esféricas (q_{1},q_{2},q_{3})=(r,\theta,\varphi), cujas transformações para coordenadas cartesianas são
x = r\,\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\,\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\,\cos\theta.
O conteúdo é cálculo de fatores de escala em coordenadas curvilíneas, que se obtêm a partir da métrica induzida pela transformação.

Passo 2

Em coordenadas curvilíneas, cada fator de escala h_{i} é dado por
h_{i} \;=\;\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial q_{i}}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial y}{\partial q_{i}}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial z}{\partial q_{i}}\Bigr)^{2}}.
Aqui q_{1}=r, q_{2}=\theta, q_{3}=\varphi.

Passo 3

Calculemos h_{r}.
\frac{\partial x}{\partial r}=\sin\theta\cos\varphi, \quad \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta\sin\varphi, \quad \frac{\partial z}{\partial r}=\cos\theta.
Logo
h_{r} =\sqrt{\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\theta} =\sqrt{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta} =1.

Passo 4

Calculemos h_{\theta}.
\frac{\partial x}{\partial \theta} = r\,\cos\theta\cos\varphi, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\,\cos\theta\sin\varphi, \quad \frac{\partial z}{\partial \theta} = -r\,\sin\theta.
Então
h_{\theta} =\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta\cos^{2}\varphi +r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\varphi +r^{2}\sin^{2}\theta} =\sqrt{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)} =r.

Passo 5

Calculemos h_{\varphi}.
\frac{\partial x}{\partial \varphi} = -r\,\sin\theta\sin\varphi, \quad \frac{\partial y}{\partial \varphi} = r\,\sin\theta\cos\varphi, \quad \frac{\partial z}{\partial \varphi} = 0.
Logo
h_{\varphi} =\sqrt{r^{2}\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi +r^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi} =\sqrt{r^{2}\sin^{2}\theta} =r\,\sin\theta.

Passo 6

Para verificar, escrevemos o elemento de comprimento em curvilíneas:
ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta\,d\varphi^{2}.
Logo os comprimentos diferenciais são
ds_{r}=dr,\quad ds_{\theta}=r\,d\theta,\quad ds_{\varphi}=r\sin\theta\,d\varphi,
o que confirma h_{r}=1, h_{\theta}=r e h_{\varphi}=r\sin\theta.

Resposta

\displaystyle h_{r}=1,\quad h_{\theta}=r,\quad h_{\varphi}=r\sin\theta.

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