2.1.2 No sistema coordenado polar esférico,
. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
(a) Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas:
e
.
(b) Verifique os fatores de escala que calculou pela relação
.
(b) Verifique os fatores de escala que calculou pela relação
Passo 1
O enunciado pede os fatores de escala do sistema de coordenadas esféricas
, cujas transformações para coordenadas cartesianas são
O conteúdo é cálculo de fatores de escala em coordenadas curvilíneas, que se obtêm a partir da métrica induzida pela transformação.
Passo 2
Em coordenadas curvilíneas, cada fator de escala
é dado por
Aqui
,
,
.
Passo 3
Calculemos
.
Logo
Passo 4
Calculemos
.
Então
Passo 5
Calculemos
.
Logo
Passo 6
Para verificar, escrevemos o elemento de comprimento em curvilíneas:
Logo os comprimentos diferenciais são
o que confirma
,
e
.