Tendo
como um vetor unitário na direção crescente de
, mostre que
Note que, mesmo que
seja um vetor unitário, sua divergência e rotacional não desaparecem necessariamente.
Note que, mesmo que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas curvilíneas ortogonais com fatores de escala
, a divergência do vetor unitário
vale
O conteúdo necessário é a fórmula da divergência em coordenadas ortogonais.
Passo 2
Em coordenadas curvilíneas ortogonais, para um campo vetorial genérico
, a divergência é dada por
Essa expressão surge da definição
com
.
Passo 3
Agora escolhemos
. Nesse caso, em componentes escalares,
Logo, na fórmula da divergência só permanece o termo com
.
Passo 4
Substituindo
e
em
ficamos com
que é justamente o que queríamos demonstrar.