(a) O que é o sistema cristalino? (b) Por que só existem sete sistemas para materiais cristalinos reais? © Descreva os parâmetros de redes de todos os sistemas cristalinos.
Passo 1
Beleza, então o exercício é:
(a) O que é sistema cristalino?
(b) Por que só existem sete sistemas para cristais reais?
© Quais são os parâmetros de rede (comprimentos e ângulos) de cada um desses sete sistemas?
(a) O que é sistema cristalino?
(b) Por que só existem sete sistemas para cristais reais?
© Quais são os parâmetros de rede (comprimentos e ângulos) de cada um desses sete sistemas?
Isso cai em cristalografia básica: redes de Bravais, células unitárias e simetria. Para resolver, a gente vai usar o conceito de vetor de rede, célula unitária e contar quantos parâmetros independentes (a, b, c, α, β, γ) cada simetria permite.
Passo 2
(a) O que é sistema cristalino?
– Teoria em jogo: uma rede de Bravais é um arranjo periódico de pontos no espaço, gerado pelos vetores a⃗, b⃗, c⃗. A célula unitária é o menor “tijolinho” que, repetido, reconstrói o cristal.
– Um sistema cristalino agrupa todas as redes cujas células unitárias têm o mesmo conjunto de igualdades/diferenças entre comprimentos (a, b, c) e ângulos (α, β, γ).
Em outras palavras, se dois cristalitos têm células com a=b≠c e α=β=γ=90°, eles fazem parte do mesmo sistema (o tetragonal).
– Teoria em jogo: uma rede de Bravais é um arranjo periódico de pontos no espaço, gerado pelos vetores a⃗, b⃗, c⃗. A célula unitária é o menor “tijolinho” que, repetido, reconstrói o cristal.
– Um sistema cristalino agrupa todas as redes cujas células unitárias têm o mesmo conjunto de igualdades/diferenças entre comprimentos (a, b, c) e ângulos (α, β, γ).
Em outras palavras, se dois cristalitos têm células com a=b≠c e α=β=γ=90°, eles fazem parte do mesmo sistema (o tetragonal).
Passo 3
(b) Por que só existem sete sistemas reais?
– A simetria espacial (operações de rotação e reflexão que deixam o cristal inalterado) impõe restrições nas células: certas igualdades entre a, b, c e ângulos.
– Contando todas as combinações possíveis de parâmetros independentes, no máximo surgem sete “tipos métricos” distintos. As demais combinações dão células equivalentes a alguma dessas sete.
– Resumindo: a teoria de grupos de simetria e o fato de ter só seis graus de liberdade (3 comprimentos + 3 ângulos) resultam em apenas sete classes distintas de células unitárias.
– A simetria espacial (operações de rotação e reflexão que deixam o cristal inalterado) impõe restrições nas células: certas igualdades entre a, b, c e ângulos.
– Contando todas as combinações possíveis de parâmetros independentes, no máximo surgem sete “tipos métricos” distintos. As demais combinações dão células equivalentes a alguma dessas sete.
– Resumindo: a teoria de grupos de simetria e o fato de ter só seis graus de liberdade (3 comprimentos + 3 ângulos) resultam em apenas sete classes distintas de células unitárias.
Passo 4
© Parâmetros de rede dos sete sistemas
-
Cúbico
• a = b = c
• α = β = γ = 90° -
Tetragonal
• a = b ≠ c
• α = β = γ = 90° -
Ortorrômbico
• a ≠ b ≠ c
• α = β = γ = 90° -
Romboédrico (Trigonal)
• a = b = c
• α = β = γ ≠ 90° -
Hexagonal
• a = b ≠ c
• α = β = 90°, γ = 120° -
Monoclínico
• a ≠ b ≠ c
• α = γ = 90°, β ≠ 90° -
Triclínico
• a ≠ b ≠ c
• α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
Resposta
(a) Um sistema cristalino é uma classe de redes de Bravais cujas células unitárias têm o mesmo padrão de igualdades/diferenças em a, b, c e em α, β, γ.
(b) Só há sete sistemas porque a combinação de simetria espacial e os seis parâmetros métricos (3 comprimentos + 3 ângulos) gera apenas sete tipos distintos de células unitárias.
© Os parâmetros de cada sistema são:
• Cúbico:
• Tetragonal:
• Ortorrômbico:
• Romboédrico (Trigonal):
• Hexagonal:
• Monoclínico:
• Triclínico:
(b) Só há sete sistemas porque a combinação de simetria espacial e os seis parâmetros métricos (3 comprimentos + 3 ângulos) gera apenas sete tipos distintos de células unitárias.
© Os parâmetros de cada sistema são:
• Cúbico:
• Tetragonal:
• Ortorrômbico:
• Romboédrico (Trigonal):
• Hexagonal:
• Monoclínico:
• Triclínico: