O sistema é descrito
Mostre que este sistema tende a suprimir entradas em altas freqüências e o sistema descrito por
amplifica sinais em altas freqüências.
Passo 1
Então, você tem um exercício sobre sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais e precisa mostrar como eles se comportam com diferentes frequências de entrada. O conteúdo aqui envolve análise de frequência e resposta em frequência dos sistemas. Vamos precisar entender o que cada termo na equação representa e como as frequências afetam o comportamento do sistema.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro sistema:
Aqui,
é a saída,
é a entrada,
é uma constante de tempo, e
é um ganho.
Passo 3
Para entender como o sistema responde a diferentes frequências, vamos transformar essa equação para o domínio da frequência usando a transformada de Laplace. Substituímos
por
, onde
é a variável complexa na transformada de Laplace.
A equação fica:
Passo 4
Agora, fatoramos
:
Isolando
em termos de
:
Essa fração �� chamada de função de transferência do sistema.
Passo 5
Para analisar a resposta em frequência, substituímos
por
, onde
é a frequência angular e
é a unidade imaginária:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo dessa função de transferência para ver como o ganho do sistema varia com a frequência:
Observamos que conforme
aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que
diminua.
Passo 7
Isso significa que para altas frequências (
grande), o ganho do sistema é pequeno. Portanto, o primeiro sistema suprime sinais de altas frequências, funcionando como um filtro passa-baixa.
Passo 8
Agora, vamos analisar o segundo sistema:
Aqui,
é a saída,
é a entrada,
é uma constante de tempo, e
é um ganho.
Passo 9
Transformando para o domínio da frequência usando a transformada de Laplace:
Fatorando
:
A função de transferência é:
Passo 10
Substituindo
por
para obter a resposta em frequência:
Passo 11
Calculando o módulo dessa função de transferência:
Aqui, à medida que
aumenta, o termo
domina, fazendo com que
cresça.
Passo 12
Isso mostra que para altas frequências, o ganho do sistema é grande. Portanto, o segundo sistema amplifica sinais de altas frequências, funcionando como um filtro passa-alta.
Resposta
O primeiro sistema suprime entradas em altas frequências, funcionando como um filtro passa-baixa, enquanto o segundo sistema amplifica sinais em altas frequências, atuando como um filtro passa-alta.