O sistema é descrito
tau1 d z1d t+z1=k y1
Mostre que este sistema tende a suprimir entradas em altas freqüências e o sistema descrito por
z2=k(tau2 d y2d t+y2)
amplifica sinais em altas freqüências.

Passo 1

Então, você tem um exercício sobre sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais e precisa mostrar como eles se comportam com diferentes frequências de entrada. O conteúdo aqui envolve análise de frequência e resposta em frequência dos sistemas. Vamos precisar entender o que cada termo na equação representa e como as frequências afetam o comportamento do sistema.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro sistema:
tau1 d z1d t + z1 = k y1
Aqui, é a saída, é a entrada, é uma constante de tempo, e é um ganho.

Passo 3

Para entender como o sistema responde a diferentes frequências, vamos transformar essa equação para o domínio da frequência usando a transformada de Laplace. Substituímos tau1 s Z1(s) + Z1(s) = k Y1(s) por , onde é a variável complexa na transformada de Laplace.
A equação fica:

Passo 4

Agora, fatoramos Z1(s) (tau1 s + 1) = k Y1(s) :
Z1(s)Y1(s) = ktau1 s + 1
Isolando em termos de :
Essa fração �� chamada de função de transferência do sistema.

Passo 5

Para analisar a resposta em frequência, substituímos H1(jomega) = k1 + jomega tau1 por , onde é a frequência angular e é a unidade imaginária:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo dessa função de transferência para ver como o ganho do sistema varia com a frequência:
|H1(jomega)| = kraiz1 + (omega tau1)^2
Observamos que conforme aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que diminua.

Passo 7

Isso significa que para altas frequências ( grande), o ganho do sistema é pequeno. Portanto, o primeiro sistema suprime sinais de altas frequências, funcionando como um filtro passa-baixa.

Passo 8

Agora, vamos analisar o segundo sistema:
z2 = k(tau2 d y2d t + y2)
Aqui, é a saída, é a entrada, é uma constante de tempo, e é um ganho.

Passo 9

Transformando para o domínio da frequência usando a transformada de Laplace:
Z2(s) = k (tau2 s Y2(s) + Y2(s))
Fatorando Z2(s) = k (tau2 s + 1) Y2(s) :
Z2(s)Y2(s) = k (tau2 s + 1)
A função de transferência é:

Passo 10

Substituindo H2(jomega) = k (1 + jomega tau2) por para obter a resposta em frequência:

Passo 11

Calculando o módulo dessa função de transferência:
|H2(jomega)| = k raiz1 + (omega tau2)^2
Aqui, à medida que aumenta, o termo domina, fazendo com que cresça.

Passo 12

Isso mostra que para altas frequências, o ganho do sistema é grande. Portanto, o segundo sistema amplifica sinais de altas frequências, funcionando como um filtro passa-alta.

Resposta

O primeiro sistema suprime entradas em altas frequências, funcionando como um filtro passa-baixa, enquanto o segundo sistema amplifica sinais em altas frequências, atuando como um filtro passa-alta.

Exercícios relacionados