Um sistema de
ordem
esta sujeito a uma entrada senoidal
Assumindo que a saída do sistema entra em um filtro que corta(elimina) todos os sinais de entrada com amplitude menor que
, determine a freqüência critica
tal que para todo
o filtro não observará o sinal de entrada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, temos um sistema de primeira ordem descrito pela equação
, onde a entrada
é uma onda senoidal
em milliVolts (mV). A tarefa é encontrar a frequência crítica
tal que, se a frequência da entrada
for maior que
, o filtro do sistema não vai detectar o sinal porque a amplitude da saída será menor que 0,01 mV. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas de primeira ordem e análise de resposta em frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o sistema de primeira ordem faz. A equação diferencial
descreve como a saída
reage à entrada
. Para analisar como o sistema responde a uma entrada senoidal, usamos a transformada de Laplace ou o conceito de função de transferência. Vamos optar pela função de transferência aqui.
Passo 3
A função de transferência
de um sistema linear e invariante no tempo é a razão entre a transformada de Laplace da saída
e a transformada da entrada
. Para a nossa equação:
Passo 4
Agora, queremos analisar como esse sistema responde a uma entrada senoidal
. Para isso, substituímos
por
na função de transferência para obter a resposta em frequência:
Passo 5
A magnitude da função de transferência nos diz o quanto o sistema amplifica ou atenua a entrada em cada frequência. Calculamos a magnitude:
Passo 6
A saída em amplitude será a amplitude da entrada multiplicada pela magnitude da função de transferência. Sabemos que a entrada tem amplitude de 3 mV, então:
Passo 7
Queremos encontrar a frequência
onde a amplitude da saída é igual a 0,01 mV. Então, igualamos a expressão acima a 0,01 mV:
Passo 8
Vamos resolver essa equação para
:
Passo 9
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 10
Isolamos
:
Passo 11
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A frequência crítica
é aproximadamente 240 rad/s. Assim, para qualquer frequência de entrada
maior que 240 rad/s, o filtro não vai detectar o sinal porque a amplitude da saída será menor que 0,01 mV.