Um sistema de 1^a ordem 1,25 d zd t+z=y esta sujeito a uma entrada senoidal
y(t)=3 sen(omega0 t) m V
Assumindo que a saída do sistema entra em um filtro que corta(elimina) todos os sinais de entrada com amplitude menor que 0,01 mV, determine a freqüência critica omegac tal que para todo omega0>omegac o filtro não observará o sinal de entrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, temos um sistema de primeira ordem descrito pela equação , onde a entrada é uma onda senoidal em milliVolts (mV). A tarefa é encontrar a frequência crítica tal que, se a frequência da entrada for maior que , o filtro do sistema não vai detectar o sinal porque a amplitude da saída será menor que 0,01 mV. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas de primeira ordem e análise de resposta em frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o sistema de primeira ordem faz. A equação diferencial descreve como a saída reage à entrada . Para analisar como o sistema responde a uma entrada senoidal, usamos a transformada de Laplace ou o conceito de função de transferência. Vamos optar pela função de transferência aqui.

Passo 3

A função de transferência H(s) = Z(s)Y(s) = 11,25s + 1 de um sistema linear e invariante no tempo é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada da entrada . Para a nossa equação:

Passo 4

Agora, queremos analisar como esse sistema responde a uma entrada senoidal H(jomega) = 11 + j1,25omega . Para isso, substituímos por na função de transferência para obter a resposta em frequência:

Passo 5

A magnitude da função de transferência nos diz o quanto o sistema amplifica ou atenua a entrada em cada frequência. Calculamos a magnitude:
|H(jomega)| = 1raiz1 + (1,25omega)^2

Passo 6

A saída em amplitude será a amplitude da entrada multiplicada pela magnitude da função de transferência. Sabemos que a entrada tem amplitude de 3 mV, então:
Amplitude de saída = 3 times |H(jomega)| = 3raiz1 + (1,25omega)^2 í

Passo 7

Queremos encontrar a frequência 3raiz1 + (1,25omegac)^2 = 0,01 onde a amplitude da saída é igual a 0,01 mV. Então, igualamos a expressão acima a 0,01 mV:

Passo 8

Vamos resolver essa equação para 30,01 = raiz1 + (1,25omegac)^2 :
300 = raiz1 + (1,25omegac)^2

Passo 9

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
300^2 = 1 + (1,25omegac)^2
90000 = 1 + 1,5625omegac^2

Passo 10

Isolamos 1,5625omegac^2 = 90000 - 1 :
1,5625omegac^2 = 89999
omegac^2 = 899991,5625
omegac^2 approx 57600

Passo 11

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar omegac approx raiz57600 :
omegac approx 240 rad/s

Resposta

A frequência crítica é aproximadamente 240 rad/s. Assim, para qualquer frequência de entrada maior que 240 rad/s, o filtro não vai detectar o sinal porque a amplitude da saída será menor que 0,01 mV.

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