Encontre a função de transferência para a seguinte planta
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema descrito por equações de espaço de estados, que inclui uma matriz , uma matriz , e uma saída que depende do vetor de estados . O objetivo é encontrar a função de transferência desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e cálculo de funções de transferência a partir de representações no espaço de estados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função de transferência. É uma representação no domínio da frequência (usando a variável G(s) = C (sI - A)^-1 B + D ) que relaciona a saída G(s) = C (sI - A)^-1 B à entrada . Para sistemas descritos no espaço de estados, a função de transferência pode ser calculada usando a fórmula:
Neste exercício, não há termo , então usamos:
Passo 3
Vamos identificar as matrizes A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & -3 , B = 0 0 1 , C = 3 & 8 & 2 , e no sistema dado:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Primeiro, criamos a matriz identidade sI - A = s & 0 & 0 0 & s & 0 0 & 0 & s - 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & -3 = s & -1 & 0 0 & s & -1 0 & 1 & s+3 de ordem 3:
Então:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar a matriz inversa det(sI - A) = s cdot ( s(s+3) - (-1)(1) ) - (-1) cdot ( 0 - (-1)(0) ) + 0 cdot ( 0 - s cdot 1 ) = s(s^2 + 3s + 1) . Para isso, vamos calcular o determinante de e a matriz adjunta.
Primeiro, calculamos o determinante:
Passo 6
Com o determinante, podemos agora encontrar a inversa de (sI - A)^-1 = 1det(sI - A) adj(sI - A) , que é dada por:
No entanto, para simplificar, ao multiplicar por e depois por , podemos focar diretamente no produto .
Passo 7
Vamos encontrar (sI - A)^-1 B = 1s(s^2 + 3s + 1) s^2 + 3s + 1 s(s+3) s primeiro. Multiplicando a matriz inversa pelo vetor :
Passo 8
Agora, multiplicamos o vetor resultante por G(s) = C (sI - A)^-1 B = 3 & 8 & 2 cdot s^2 + 3s + 1s(s^2 + 3s + 1) s(s+3)s(s^2 + 3s + 1) ss(s^2 + 3s + 1) :