. Para um sistema dinâmico com realimentação negativa unitária, cuja função de transferência direta é dada por
G(s)=\frac{K(s+6)}{(s+2)\left(s^{2}+10 s+29\right)}
Determinar o ganho K de forma que o erro em regime permanente seja inferior a 8 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função de transferência em malha direta é G(s)=\dfrac{K(s+6)}{(s+2)\left(s^{2}+10s+29\right)}.
  • O sistema tem realimentação negativa unitária (ou seja, a função de realimentação é H(s)=1).
  • O enunciado pede: determinar o ganho K de forma que o erro em regime permanente seja inferior a 8\%, isto é, e_{\infty}<8\% (vou trabalhar com entrada degrau unitário — explico o porquê no passo seguinte).

Passo 2

Explicando a ideia e por que escolhi tratar a entrada como degrau unitário.
  • Em exercícios de sistemas de controle quando se fala simplesmente “erro em regime permanente” sem especificar o tipo de entrada, o caso mais comum e esperado é a entrada degrau unitário. Por isso vou usar esse caso (se a entrada fosse rampa ou parabólica a fórmula e o procedimento mudariam).
  • Para malha unitária, com referência R(s) e função de erro E(s)=R(s)-Y(s), a relação é
E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}.
  • Para entrada degrau unitário, R(s)=\dfrac{1}{s}.
  • O teorema do valor final diz que o erro em regime permanente para a entrada escolhida é
e_{\infty}=\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s).
  • Substituindo E(s) e R(s) obtemos
e_{\infty}=\lim_{s\to 0} s\cdot\frac{1/s}{1+G(s)}=\lim_{s\to 0}\frac{1}{1+G(s)}=\frac{1}{1+K_p},
onde definimos a constante de posição
K_p=\lim_{s\to 0}G(s).
  • Ou seja, para degrau unitário a fórmula prática que usaremos é
e_{\infty}=\frac{1}{1+K_p}.
(Se a entrada não fosse degrau, deveríamos usar as constantes de velocidade K_v ou aceleração K_a.)

Passo 3

Calcular K_p a partir de G(s).
  • Por definição,
K_p=\lim_{s\to 0}G(s)=\lim_{s\to 0}\frac{K(s+6)}{(s+2)\left(s^{2}+10s+29\right)}.
  • Avaliando em s=0:
K_p=\frac{K(0+6)}{(0+2)\left(0^{2}+10\cdot 0+29\right)}=\frac{6K}{2\cdot 29}=\frac{3K}{29}.

Passo 4

Impor a condição e_{\infty}<8\% e resolver para K.
  • A condição escrita com números é
\frac{1}{1+K_p}<0{,}08.
  • Substituindo K_p=\dfrac{3K}{29} temos
\frac{1}{1+\dfrac{3K}{29}}<0{,}08.
  • Inverter ambos os lados (os termos são positivos, pois K\ge 0 para ganho positivo) e resolver passo a passo:
1+\frac{3K}{29}>\frac{1}{0{,}08}=12{,}5.
\frac{3K}{29}>12{,}5-1=11{,}5.
K>\frac{11{,}5\cdot 29}{3}.
  • Simplificando exatamente: 11{,}5=\dfrac{23}{2}, então
K>\frac{\tfrac{23}{2}\cdot 29}{3}=\frac{23\cdot 29}{6}=\frac{667}{6}.
  • Em valor decimal:
\frac{667}{6}\approx 111{,}166\overline{6}.

Passo 5

Interpretação prática e recomendação.
  • A desigualdade obtida é estrita porque foi exigido e_{\infty}<8\% (não igual a 8\%). Portanto qualquer K maior que \dfrac{667}{6} satisfaz a condição.
  • Em prática de projeto, costuma-se escolher um pouco acima desse limite para garantir margem frente a incertezas; por exemplo K=112 seria uma escolha razoável e simples que garante e_{\infty}<8\%.

Resposta

K>\dfrac{667}{6}\approx 111{,}1667

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