. Para um sistema dinâmico com realimentação negativa unitária, cuja função de transferência direta é dada por
Determinar o ganho K de forma que o erro em regime permanente seja inferior a
.
Determinar o ganho K de forma que o erro em regime permanente seja inferior a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função de transferência em malha direta é
. - O sistema tem realimentação negativa unitária (ou seja, a função de realimentação é
). - O enunciado pede: determinar o ganho
de forma que o erro em regime permanente seja inferior a , isto é, (vou trabalhar com entrada degrau unitário — explico o porquê no passo seguinte).
Passo 2
Explicando a ideia e por que escolhi tratar a entrada como degrau unitário.
- Em exercícios de sistemas de controle quando se fala simplesmente “erro em regime permanente” sem especificar o tipo de entrada, o caso mais comum e esperado é a entrada degrau unitário. Por isso vou usar esse caso (se a entrada fosse rampa ou parabólica a fórmula e o procedimento mudariam).
- Para malha unitária, com referência
e função de erro , a relação é
- Para entrada degrau unitário,
. - O teorema do valor final diz que o erro em regime permanente para a entrada escolhida é
- Substituindo
e obtemos
onde definimos a constante de posição
- Ou seja, para degrau unitário a fórmula prática que usaremos é
(Se a entrada não fosse degrau, deveríamos usar as constantes de velocidade
ou aceleração
.)
Passo 3
Calcular
a partir de
.
- Por definição,
- Avaliando em
:
Passo 4
Impor a condição
e resolver para
.
- A condição escrita com números é
- Substituindo
temos
- Inverter ambos os lados (os termos são positivos, pois
para ganho positivo) e resolver passo a passo:
- Simplificando exatamente:
, então
- Em valor decimal:
Passo 5
Interpretação prática e recomendação.
- A desigualdade obtida é estrita porque foi exigido
(não igual a ). Portanto qualquer maior que satisfaz a condição. - Em prática de projeto, costuma-se escolher um pouco acima desse limite para garantir margem frente a incertezas; por exemplo
seria uma escolha razoável e simples que garante .