8- Para um sistema com duas partículas, geralmente fazemos a energia potencial tender a zero quando a distância entre duas partículas tende ao infinito. Caso você faça essa escolha, explique por que quando a distância entre as partículas é finita a energia potencial é positiva para partículas que se repelem e negativa para partículas que se atraem.

Passo 1

O enunciado trata da energia potencial U(r) de duas partículas em função da distância r entre elas, tomando como referência
U(\infty)=0\,.
Queremos entender por que, com essa escolha, uma interação repulsiva dá U(r)>0 e uma interação atrativa dá U(r)<0.

Passo 2

Pela definição de energia potencial e pelo teorema do trabalho, para levar as partículas de r=\infty até r fazemos
U(r)-U(\infty) \;=\; -\int_{\infty}^{r} F(r')\,\mathrm{d}r',
onde F(r') é a força de interação. Como fixamos U(\infty)=0, fica
U(r) \;=\; -\int_{\infty}^{r} F(r')\,\mathrm{d}r'.

Passo 3

Se as partículas se repelem, então F(r')>0 no sentido de afastá-las. Note que, quando r'<\infty, o limite inferior do integral é maior que o superior, de modo que
\int_{\infty}^{r}F(r')\,\mathrm{d}r' = -\int_{r}^{\infty}F(r')\,\mathrm{d}r'<0.
Logo
U(r) = -\bigl(\text{valor negativo}\bigr) > 0.
Físicamente, dizemos que o agente externo teve que entregar energia positiva para vencer a repulsão e aproximar as partículas.

Passo 4

Se as partículas se atraem, então F(r')<0 aponta para aproximá-las. Análogo ao caso anterior,
\int_{\infty}^{r}F(r')\,\mathrm{d}r' = -\int_{r}^{\infty}F(r')\,\mathrm{d}r'>0
pois agora o integrando é negativo e trocamos os limites. Assim
U(r) = -\bigl(\text{valor positivo}\bigr) < 0.
Aqui o próprio campo atrativo faz trabalho sobre as partículas, liberando energia, daí a U(r) negativa.

Resposta

Quando definimos U(\infty)=0, a energia potencial U(r) mede o trabalho que um agente externo precisa (ou recebe) ao levar as partículas de separação infinita até r. Se elas se repelem, o agente entrega energia (logo U>0); se se atraem, o campo entrega energia ao agente (logo U<0).

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