Um sistema elétrico é descrito pela equação diferencial abaixo. Calcule a resposta \mathrm{i}(\mathrm{t}) do sistema a um sinal de entrada v(t), usando para isso o método de resolução de equações diferenciais demonstrado em sala de aula, isto é, através soma da resposta homogênea i_{h}(t) e a resposta forçada \mathrm{i}_{\mathrm{f}}(\mathrm{t}).
i^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} i^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} i(t)=\frac{1}{L} v^{\prime}(t)
\mathrm{L}=0.5 \mathrm{H}
\mathrm{C}=14 \mathrm{mF}
\mathrm{i}(0)=0
\mathrm{i}^{\prime}(0)=10
\mathrm{R}=1000 \mathrm{~W}
C =14 \mathrm{mF}
v(t)=20 \cos (10 t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
i''(t)+\frac{R}{L}\,i'(t)+\frac{1}{LC}\,i(t)=\frac{1}{L}\,v'(t)
com \;L=0,5\;\mathrm H, \;C=14\mathrm{\,mF}=14\times10^{-3}\mathrm F, \;R=1000\\ \Omega, condições iniciais \;i(0)=0, \;i'(0)=10,
e entrada \;v(t)=20\cos(10t).
Vamos usar o método “solução geral = resposta homogênea i_h + resposta particular i_f”.

Passo 2

Resposta homogênea i_h: montamos a equação característica
r^2 + \frac{R}{L}\,r + \frac{1}{LC} = 0
onde \frac{R}{L} = \frac{1000}{0,5}=2000 e \frac{1}{LC}=\frac{1}{0,5\cdot14\times10^{-3}}=\frac{1}{7\times10^{-3}}\approx142{,}857.
Logo
r^2 +2000\,r +142{,}857=0,
discriminante \Delta =2000^2-4\cdot142{,}857\approx3{,}9994286\times10^6, \sqrt\Delta\approx1999{,}857.
As raízes são
r_{1,2}=\frac{-2000\pm1999{,}857}{2}\;\Longrightarrow\; r_1\approx-0{,}0714286\;(=-1/14), \; r_2\approx-1999{,}9286.
Portanto
i_h(t)=C_1\,e^{-0{,}0714286\,t}+C_2\,e^{-1999{,}9286\,t}.

Passo 3

Resposta particular i_f\) a um forçamento \(\frac{1}{L}v'(t)\). Primeiro \[v'(t)=-20\cdot10\sin(10t)=-200\sin(10t),
\frac{1}{L}v'(t)=-\frac{200}{0,5}\sin(10t)=-400\sin(10t).
Proponho
i_f(t)=A\cos(10t)+B\sin(10t).
Então
i_f'=-10A\sin(10t)+10B\cos(10t), \quad i_f''=-100A\cos(10t)-100B\sin(10t).
Substituindo em i''+2000\,i'+142{,}857\,i=-400\sin(10t) e agrupando cosseno e seno, obtemos o sistema
\begin{cases} ( -100A+2000\cdot10B+142{,}857A)=0,\\\ ( -100B-2000\cdot10A+142{,}857B)=-400. \end{cases}
Ou seja
\begin{cases} 42{,}857\,A+20000\,B=0,\\\\ -20000\,A+42{,}857\,B=-400. \end{cases}
Resolvendo:
da 1ª equação (A=-\frac{20000}{42{,}857}B\approx -466{,}667,B].
Substituindo na 2ª:
(-20000)(-466{,}667B)+42{,}857B=-400 \;\Longrightarrow\; 9{,}333{,}333B+42{,}857B=-400 \;\Longrightarrow\; B\approx -4,286\times10^{-5}.
Então
A\approx0{,}02.
Assim
i_f(t)=0{,}02\cos(10t)-4,286\times10^{-5}\sin(10t).

Passo 4

Impondo as condições iniciais: \;i(0)=i_h(0)+i_f(0)=C_1+C_2+0{,}02=0, logo
C_1+C_2=-0{,}02.
Para i'(0):
i'(t)=C_1r_1e^{r_1t}+C_2r_2e^{r_2t}+i_f'(t),
i_f'(0)=-10\cdot0{,}02\cdot0+10\bigl(-4,286\times10^{-5}\bigr)\cdot1=-4,286\times10^{-4}.
Então
i'(0)=C_1r_1+C_2r_2-4,286\times10^{-4}=10 \;\Longrightarrow\; C_1(-0,0714286)+C_2(-1999,9286)=10{,}0004286.
Resolvendo o sistema \;C_1+C_2=-0{,}02
e \;-0,0714286\,C_1-1999,9286\,C_2=10{,}0004286,
acha-se numericamente
C_1\approx-1,50\times10^{-2}, \quad C_2\approx-5,00\times10^{-3}.

Passo 5

A solução completa é
i(t)=C_1\,e^{-0{,}0714286\,t}+C_2\,e^{-1999{,}9286\,t} +0{,}02\cos(10t)-4,286\times10^{-5}\sin(10t).

Resposta

\boxed{ i(t)=-1{,}50\times10^{-2}\,e^{-0{,}0714286\,t} -5{,}00\times10^{-3}\,e^{-1999{,}9286\,t} +0{,}02\cos(10t) -4{,}286\times10^{-5}\sin(10t) }.

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