Um sistema equilibrado conectado em Y (estrela) é alimentado por uma fonte trifásica de frequência 60 Hz cuja tensão de fase é 440 V . A impedância de cada fase da carga é composta de uma resistência de 150 \Omega em série com um capacitor de 15 \mu \mathrm{~F}. Calcule:
a) O módulo da tensão de linha, e o módulo das correntes de fase e de linha
b) As potências trifásicas S, P e Q
c) O fator de potência

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos deu e o que ele pede, com todas as informações relevantes bem claras.
  • Dado: tensão de fase (tensão fase-neutro) \,V_{ph}=440\\ \mathrm{V}.
  • Dado: frequência \,f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Dado: em cada fase a carga é uma resistência em série com um capacitor: \,R=150\\ \Omega e \,C=15\\ \mu\mathrm{F}.
  • O circuito está conectado em estrela (Y) e é equilibrado (cada fase idêntica).
  • Perguntas:
    a) Calcular o módulo da tensão de linha \,V_{LL} e os módulos das correntes de fase \,I_{ph} e de linha \,I_L.
    b) Calcular as potências trifásicas: aparente \,S, ativa \,P e reativa \,Q.
    c) Calcular o fator de potência (valor e se é indutivo ou capacitivo — leading/lagging).

Passo 2

Primeira coisa que precisamos é o reatância do capacitor \,X_C. A fórmula da reatância capacitiva é
X_C=\frac{1}{2\pi f C},
onde f é a frequência (em hertz) e C é a capacitância (em farads). Aqui C=15\\ \mu\mathrm{F}=15\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Calculemos:
X_C=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot15\times10^{-6}}\approx176,78\\ \Omega.
Explicação curta: o capacitor “resiste” à variação da tensão com uma reatância que diminui conforme a frequência ou a capacitância aumentam. O sinal de sua impedância é imaginário negativo (porque corrente lidera a tensão).

Passo 3

Agora montamos a impedância série de cada fase. Para resistência em série com capacitor,
Z = R - jX_C,
onde R é a parte real (resistiva) e -jX_C a parte imaginária (reatância capacitiva). Substituindo os valores:
Z = 150 - j\,176,78\\ \Omega.
Precisamos também do módulo e do ângulo dessa impedância. O módulo é
|Z|=\sqrt{R^2+X_C^2}=\sqrt{150^2+176{,}78^2}\approx231{,}87\\ \Omega.
O ângulo da impedância (argumento) é
\theta_Z=\arctan\!\left(\frac{\operatorname{Im}(Z)}{\operatorname{Re}(Z)}\right)=\arctan\!\left(\frac{-176{,}78}{150}\right)\approx-49{,}79^\circ.
Interpretação: a impedância tem ângulo negativo, indicando comportamento capacitivo (corrente adianta a tensão na fase).

Passo 4

Calcular a tensão de linha (entre fases) a partir da tensão de fase em conexão estrela. A relação é
V_{LL}=\sqrt{3}\,V_{ph}.
Substituindo:
V_{LL}=\sqrt{3}\cdot440\approx762{,}10\\ \mathrm{V}.
Explicação: em Y equilibrado a linha é a diferença entre duas tensões de fase defasadas 120°, o que resulta em um fator \sqrt{3} entre a tensão linha e a tensão fase.

Passo 5

Calcular a corrente de fase (módulo). Em cada fase temos uma tensão fase aplicada a uma impedância Z, logo a corrente fasorial por fase é
I_{ph}=\frac{V_{ph}}{Z}.
O módulo da corrente é
|I_{ph}|=\frac{|V_{ph}|}{|Z|}=\frac{440}{231{,}87}\approx1{,}897\\ \mathrm{A}.
Observação importante para estrela equilibrada: a corrente de linha é igual à corrente de fase, ou seja,
|I_L|=|I_{ph}|\approx1{,}897\\ \mathrm{A}.
Explicação: em conexão Y cada linha alimenta diretamente uma fase, então a corrente que passa na linha é a corrente da respectiva fase.

Passo 6

Agora vamos calcular as potências. Existem fórmulas convenientes para sistema trifásico equilibrado:
  • Potência aparente total (módulo) pelo produto das magnitudes:
S=\sqrt{3}\,V_{LL}\,I_L=3\,V_{ph}\,I_{ph}.
  • Potência ativa total:
P=3\,I_{ph}^2\,R.
  • Potência reativa total:
Q=3\,I_{ph}^2\,(-X_C),
onde o sinal negativo aparece porque a reatância é capacitiva (Q será negativa, correspondendo a potência reativa fornecida pela capacitância).
Vamos usar I_{ph} calculado no passo anterior.

Passo 7

Calculemos a potência aparente \,S usando S=3V_{ph}I_{ph}:
S=3\cdot440\cdot1{,}897\approx2504{,}14\\ \mathrm{VA}.
Calculemos a potência ativa \,P:
P=3\cdot I_{ph}^2\cdot R=3\cdot(1{,}897)^2\cdot150\approx1619{,}81\\ \mathrm{W}.
Calculemos a potência reativa \,Q:
Q=3\cdot I_{ph}^2\cdot(-X_C)=3\cdot(1{,}897)^2\cdot(-176{,}78)\approx-1908{,}71\\ \mathrm{var}.
Verificação rápida: |S|=\sqrt{P^2+Q^2}\approx\sqrt{1619{,}81^2+(-1908{,}71)^2}\approx2504{,}14\\ \mathrm{VA}, consistente com o cálculo direto.

Passo 8

Calculemos o fator de potência. O fator de potência (pf) é a razão entre a potência ativa e a potência aparente:
\mathrm{pf}=\frac{P}{S}.
Substituindo os valores:
\mathrm{pf}=\frac{1619{,}81}{2504{,}14}\approx0{,}647.
O sinal/descrição: como Q é negativo (capacitivo), a corrente adianta a tensão — dizemos que o fator de potência é 0,647 leading (ou “adiantado” / capacitivo).
Também podemos expressar o ângulo de defasagem entre tensão e corrente:
\varphi=\operatorname{arccos}(\mathrm{pf})\approx\operatorname{arccos}(0{,}647)\approx49{,}79^\circ,
e a corrente está adiantada em \,49{,}79^\circ em relação à tensão (isto vem também do ângulo da impedância, que foi -49{,}79^\circ).

Resposta

(a) V_{LL}\approx762{,}10\\ \mathrm{V},\quad |I_{ph}|=|I_L|\approx1{,}897\\ \mathrm{A}.\n
(b) S\approx2504{,}14\\ \mathrm{VA},\quad P\approx1619{,}81\\ \mathrm{W},\quad Q\approx-1908{,}71\\ \mathrm{var}.\n
(c) \mathrm{pf}\approx0{,}647 (leading, ou seja, capacitivo; ângulo \varphi\approx49{,}79^\circ).

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