Em um sistema de exaustão as canalizações de sucção e recalque tem iguais seções transversais de 1 \mathrm{~m}^{2}. O exaustor aspira 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar de um recinto que está a 740 mmHg e 25^{\circ} \mathrm{C}, e o insufla em outro a mesma condição ambiente. Há perda de carga de 10 mmca na sucção. O manômetro no flange da saída do ventilador indica 100 mmca. Admitindo o ar como um gás ideal com \mathrm{R}=0,287 \mathrm{kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), calcule:
a) a pressão estática absoluta na boca de entrada do ventilador. \quad \mathbf{9 8 , 5 ~ k P a}
b) a diferença de pressão total fornecida pelo exaustor; \quad \mathbf{1 , 0 8 ~ k P a}
c) a potência fornecida ao fluido (útil); 3,25 kW

Passo 1

O enunciado pede que se calcule três coisas para o exaustor, usando os dados fornecidos. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado):
Dados fornecidos:
  • Vazão volumétrica: \,Q=3\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Seção transversal da tubulação: \,A=1\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Pressão do recinto (ambiente): \,740\\ \mathrm{mmHg}.
  • Temperatura ambiente: \,25^\circ\mathrm{C}.
  • Perda de carga na sucção: \,10\\ \mathrm{mmca} (milímetros de coluna de água).
  • Manômetro no flange da saída do ventilador: \,100\\ \mathrm{mmca}.
  • Constante do ar (gás ideal): \,R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Acondições nos dois recintos são as mesmas (mesma pressão e temperatura).
O que se pede:
a) A pressão estática absoluta na boca de entrada do ventilador.
b) A diferença de pressão total fornecida pelo exaustor (isto é, a variação da pressão total entre saída e entrada).
c) A potência fornecida ao fluido (útil) pelo exaustor.
Observações importantes que vou usar depois (mas não vou resolver ainda neste passo):
  • Converter \mathrm{mmHg} e \mathrm{mmca} para pascal (Pa).
  • Temperatura em Kelvin: \,T=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Densidade do ar será obtida pela equação dos gases ideais: \rho = p/(R T).
  • Pressão total = pressão estática + pressão dinâmica (carga de velocidade) e potência hidráulica útil = Q\cdot\Delta p_{total}.

Passo 2

Converter a pressão ambiente de \mathrm{mmHg} para pascal e obter sua expressão em kPa (vai servir como referência).
Fator de conversão conhecido:
1\\ \mathrm{mmHg}\approx133{,}322\\ \mathrm{Pa}.
Logo,
p_{amb} = 740\\ \mathrm{mmHg}=740\cdot133{,}322\\ \mathrm{Pa}=98\,658{,}28\\ \mathrm{Pa}.
Em kPa:
p_{amb}=98{,}658\\ \mathrm{kPa}\approx98{,}66\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Converter as alturas manométricas ( \mathrm{mmca}) em Pascal. Explicando a ideia: \mathrm{mmca} (milímetros de coluna de água) indica uma pressão equivalente à coluna de água; a conversão usa \rho_{água} gá. Um valor prático:
1\\ \mathrm{mmca}\approx9{,}80665\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
10\\ \mathrm{mmca}=10\cdot9{,}80665\\ \mathrm{Pa}=98{,}0665\\ \mathrm{Pa}=0{,}09807\\ \mathrm{kPa},
100\\ \mathrm{mmca}=100\cdot9{,}80665\\ \mathrm{Pa}=980{,}665\\ \mathrm{Pa}=0{,}98067\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a pressão estática absoluta na boca de entrada do ventilador (item a).
Interpretação física: o recinto está a \,p_{amb} e existe uma perda de carga de \,10\\ \mathrm{mmca} na sucção, isto é, a pressão estática na boca do ventilador será menor que a pressão ambiente em exatamente essa perda. Logo:
p_{in} = p_{amb} - 10\\ \mathrm{mmca}.
Substituindo os valores (em kPa):
p_{in}=98{,}658\\ \mathrm{kPa}-0{,}09807\\ \mathrm{kPa}=98{,}5599\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando conforme solicitado:
p_{in}\approx98{,}5\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular a pressão estática absoluta na saída do ventilador (usada no passo seguinte para diferença de pressão). Interpretação do manômetro: ele indica que a pressão no flange de saída está \,100\\ \mathrm{mmca} acima da pressão do ambiente (o recinto de descarga está à mesma condição ambiente). Portanto:
p_{out}=p_{amb}+100\\ \mathrm{mmca}.
Em kPa:
p_{out}=98{,}658\\ \mathrm{kPa}+0{,}98067\\ \mathrm{kPa}=99{,}6387\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Definir e calcular a pressão total em entrada e saída (e a diferença).
Explicação didática: a pressão total (por unidade de área) que transporta energia mecânica do escoamento é a soma da pressão estática p com a pressão dinâmica (carga de velocidade) \tfrac{1}{2}\rho v^{2}. Assim:
p_{total}=p_{estática}+\frac{1}{2}\rho v^{2}.á
Como área é igual em sucção e recalque e a vazão é a mesma, a velocidade é a mesma na entrada e na saída; portanto a contribuição dinâmica geralmente cancela na diferença, mas vou calcular a velocidade e a pressão dinâmica para ser completo.
Velocidade do ar (explicando: v=Q/A, com Q em \mathrm{m^{3}/s} e A em \mathrm{m^{2}}):
v=\frac{Q}{A}=\frac{3\\ \mathrm{m^{3}/s}}{1\\ \mathrm{m^{2}}}=3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a densidade do ar usando a equação dos gases ideais e a pressão de referência (uso a pressão ambiente como referência, pois as variações são pequenas). Explicando a fórmula: para gás ideal,
\rho=\frac{p}{R\,T},
onde \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^{3}}), p é a pressão absoluta ( \mathrm{Pa}), R é a constante específica ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}).
Substituindo:
T=298{,}15\\ \mathrm{K},\qquad R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad p\approx98\,658{,}28\\ \mathrm{Pa}.
Logo
\rho=\frac{98\,658{,}28}{287\cdot298{,}15}=\frac{98\,658{,}28}{85\,569{,}05}\approx1{,}1529\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 8

Calcular a pressão dinâmica e verificar que ela se cancela na diferença de pressão total. Explicando a fórmula da pressão dinâmica:
p_{din}=\frac{1}{2}\rho v^{2}.
Substituindo:
p_{din}=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}1529\cdot(3)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}1529\cdot9=5{,}188\\ \mathrm{Pa}=0{,}005188\\ \mathrm{kPa}.
Como p_{din} tem praticamente o mesmo valor na entrada e na saída (mesma \rho aproximada e mesmo v), ao calcular a diferença de pressão total entre saída e entrada esse termo se cancela. Portanto a diferença de pressão total que o ventilador fornece é praticamente igual à diferença entre as pressões estáticas de saída e entrada:
\Delta p_{total}=p_{total,out}-p_{total,in}=(p_{out}+p_{din})-(p_{in}+p_{din})=p_{out}-p_{in}.
Usando os valores já obtidos:
\Delta p_{total}=99{,}6387\\ \mathrm{kPa}-98{,}5599\\ \mathrm{kPa}=1{,}0788\\ \mathrm{kPa}\approx1{,}08\\ \mathrm{kPa}.

Passo 9

Calcular a potência útil fornecida ao fluido (item c). Explicando a fórmula: a potência hidráulica (útil) fornecida ao fluido é dada por
\dot{W}=Q\cdot\Delta p_{total},
onde Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s} e \Delta p_{total} é a diferença de pressão total em pascal.
Usando \Delta p_{total}=1{,}0788\\ \mathrm{kPa}=1\,078{,}8\\ \mathrm{Pa}:
\dot{W}=3\\ \mathrm{m^{3}/s}\cdot1\,078{,}8\\ \mathrm{Pa}=3\,236{,}4\\ \mathrm{W}=3{,}236\\ \mathrm{kW}.
Arredondando conforme o enunciado:
\dot{W}\approx3{,}25\\ \mathrm{kW}.

Resposta

p_{in}=98{,}5\\ \mathrm{kPa}
\Delta p_{total}=1{,}08\\ \mathrm{kPa}
\dot{W}\approx3{,}25\\ \mathrm{kW}

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