Determinar a profundidade critica em um canal trapezoidal com 5 m de largura de base, com taludes
, transportando uma vazão de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pedido: determinar a profundidade crítica
em um canal trapezoidal. - Dados fornecidos:
- Vazão
. - Largura de base
. - Taludes
, ou seja, coeficiente de talude horizontal (cada lateral avança m na horizontal para cada m na vertical). - Aceleração da gravidade
(valor padrão que usaremos).
- Vazão
- Objetivo explícito: encontrar
, a profundidade para a qual o escoamento é crítico (Froude igual a 1).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas mastigadas).
- Em escoamento aberto, a condição de escoamento crítico é que o número de Froude seja igual a 1. Para canais de seção arbitrária usa-se a profundidade hidráulica
definida por
onde
é a área da seção molhada e
a largura do topo da superfície livre (top width).
- O número de Froude é
onde
é a velocidade média
. Condição crítica:
. Substituindo
e
obtemos a condição prática
Rearranjando:
- Para um canal trapezoidal com talude
e base , a área e a largura do topo como funções da profundidade são:
Explicando: a base contribui com
; cada lateral acrescenta
na largura superior; multiplicando pela profundidade
dá a área total.
- Portanto, a equação do problema é
Resolveremos esta equação para
.
Passo 3
Substituir os valores numéricos e escrever a equação a resolver.
- Substituições:
, , , . - Expressões específicas:
- A equação crítica fica
Definimos a função
e queremos
tal que
.
Passo 4
Estratégia numérica para resolver e por que funciona (modo para prova sem calculadora sofisticada).
- A equação é polinomial de grau alto em
(cúbica em ), sem solução analítica simples; portanto usamos um método numérico simples e seguro: bisseção (ou tentativa e aproximação) para achar um intervalo que contenha a raiz e então refinar. - Para aplicar bisseção precisamos de dois valores
com sinais opostos de . Vamos avaliar em alguns palpites e refinar o intervalo até obter precisão aceitável (na prova, duas ou três casas decimais geralmente bastam).
Passo 5
Avaliações de
e refinamento (contas passo a passo, mostro como calcular sem pular etapas).
- Avaliação em
:
- Avaliação em
:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
.
- Refino: testar
:
- Teste
:
Agora a raiz está em
.
- Refino adicional: avaliar
e .
Para
:
Para
:
Agora a raiz está em
.
- Refino fino: avaliar
e .
Para
:
Para
:
Assim a raiz está entre
e
. Como os valores de
são pequenos, fazemos interpolação linear para uma estimativa rápida:
Este valor já tem precisão compatível com o que se pede em prova (duas ou três casas decimais). Se for necessário, pode-se fazer mais uma iteração (por bisseção ou Newton) para refinar, mas o ganho é mínimo.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para prova.
- Resultado: a profundidade crítica é pequena, cerca de
. Em prova, siga os passos que mostrei: montar , escrever e explicitamente, achar um intervalo que contenha a raiz com sinais opostos e refinar por bisseção/intepolação. Para cálculos à mão, usar três casas decimais é suficiente. - Dica de exame: alinhe as contas (calcule
, depois , depois compare e ) — isso evita erros de ordem de grandeza e facilita ver rápido se está acima ou abaixo do ponto crítico.