(3,0) Determinar a profundidade critica em um canal trapezoidal com 5 m de largura de base, com taludes 2 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, transportando uma vazão de 20,00 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: determinar a profundidade crítica y_c em um canal trapezoidal.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão Q = 20{,}00\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Largura de base b = 5{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Taludes 2\mathrm{H}:1\mathrm{V}, ou seja, coeficiente de talude horizontal m = 2 (cada lateral avança 2 m na horizontal para cada 1 m na vertical).
    • Aceleração da gravidade g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2 (valor padrão que usaremos).
  • Objetivo explícito: encontrar y_c, a profundidade para a qual o escoamento é crítico (Froude igual a 1).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas mastigadas).
  • Em escoamento aberto, a condição de escoamento crítico é que o número de Froude seja igual a 1. Para canais de seção arbitrária usa-se a profundidade hidráulica D definida por
D = \frac{A}{T},
onde A é a área da seção molhada e T a largura do topo da superfície livre (top width).
  • O número de Froude é
\mathrm{Fr} = \frac{V}{\sqrt{gD}},
onde V é a velocidade média V = Q/A. Condição crítica: \mathrm{Fr}=1. Substituindo V e D obtemos a condição prática
\left(\frac{Q}{A}\right)^2 = g\frac{A}{T}.
Rearranjando:
Q^2\,T = g\,A^3.
  • Para um canal trapezoidal com talude m e base b, a área A e a largura do topo T como funções da profundidade y são:
A(y) = \bigl(b + 2 m y\bigr)\,y, \qquad T(y) = b + 2 m y.
Explicando: a base contribui com b; cada lateral acrescenta m y na largura superior; multiplicando pela profundidade y dá a área total.
  • Portanto, a equação do problema é
Q^2\,T(y) - g\,[A(y)]^3 = 0.
Resolveremos esta equação para y>0.

Passo 3

Substituir os valores numéricos e escrever a equação a resolver.
  • Substituições: b=5, m=2, Q=20, g=9{,}81.
  • Expressões específicas:
A(y) = (5 + 2\cdot 2\,y)\,y = (5 + 4y)\,y = 5y + 4y^2,
T(y) = 5 + 4y.
  • A equação crítica fica
400\,(5 + 4y) - 9{,}81\,(5y + 4y^2)^3 = 0.
Definimos a função
f(y) = 400\,(5 + 4y) - 9{,}81\,(5y + 4y^2)^3,
e queremos y>0 tal que f(y)=0.

Passo 4

Estratégia numérica para resolver e por que funciona (modo para prova sem calculadora sofisticada).
  • A equação é polinomial de grau alto em y (cúbica em A), sem solução analítica simples; portanto usamos um método numérico simples e seguro: bisseção (ou tentativa e aproximação) para achar um intervalo que contenha a raiz e então refinar.
  • Para aplicar bisseção precisamos de dois valores y_1,y_2 com sinais opostos de f. Vamos avaliar f(y) em alguns palpites e refinar o intervalo até obter precisão aceitável (na prova, duas ou três casas decimais geralmente bastam).

Passo 5

Avaliações de f(y) e refinamento (contas passo a passo, mostro como calcular sem pular etapas).
  1. Avaliação em y=0{,}5\\ \mathrm{m}:
A = 5(0{,}5)+4(0{,}5)^2 = 2{,}5 + 1{,}0 = 3{,}5, \qquad T = 5 + 4(0{,}5) = 7.
400\cdot T = 400\cdot 7 = 2800, \qquad 9{,}81\cdot A^3 = 9{,}81\cdot 3{,}5^3 = 9{,}81\cdot 42{,}875 \approx 420{,}65.
f(0{,}5) \approx 2800 - 420{,}65 = 2379{,}35\quad(\text{positivo}).
  1. Avaliação em y=1{,}0\\ \mathrm{m}:
A = 5(1)+4(1)^2 = 5 + 4 = 9, \qquad T = 5 + 4(1) = 9.
400\cdot T = 3600, \qquad 9{,}81\cdot A^3 = 9{,}81\cdot 9^3 = 9{,}81\cdot 729 \approx 7151{,}49.
f(1{,}0) \approx 3600 - 7151{,}49 = -3551{,}49\quad(\text{negativo}).
Como f(0{,}5)>0 e f(1{,}0)<0, existe pelo menos uma raiz em (0{,}5,1{,}0).
  1. Refino: testar y=0{,}8:
A = 5(0{,}8)+4(0{,}8)^2 = 4{,}0 + 2{,}56 = 6{,}56, \qquad T = 5 + 4(0{,}8) = 8{,}2.
400\cdot T = 3280, \qquad A^3 = 6{,}56^3 \approx 282{,}3004, \qquad 9{,}81\cdot A^3 \approx 2768{,}5.
f(0{,}8) \approx 3280 - 2768{,}5 = 511{,}5\quad(\text{positivo}).
  1. Teste y=0{,}9:
A = 5(0{,}9)+4(0{,}9)^2 = 4{,}5 + 3{,}24 = 7{,}74, \qquad T = 5 + 4(0{,}9) = 8{,}6.
400\cdot T = 3440, \qquad A^3 = 7{,}74^3 \approx 463{,}695, \qquad 9{,}81\cdot A^3 \approx 4550{,}8.
f(0{,}9) \approx 3440 - 4550{,}8 = -1110{,}8\quad(\text{negativo}).
Agora a raiz está em (0{,}8,0{,}9).
  1. Refino adicional: avaliar y=0{,}82 e y=0{,}86.
Para y=0{,}82:
A \approx 6{,}7896,\quad T = 8{,}28; \qquad 400T = 3312;
A^3 \approx 312{,}994,\quad 9{,}81A^3 \approx 3069{,}7;
f(0{,}82) \approx 3312 - 3069{,}7 = 242{,}3\\ (\text{positivo}).
Para y=0{,}86:
A \approx 7{,}2584,\quad T = 8{,}44; \qquad 400T = 3376;
A^3 \approx 382{,}404,\quad 9{,}81A^3 \approx 3749{,}4;
f(0{,}86) \approx 3376 - 3749{,}4 = -373{,}4\\ (\text{negativo}).
Agora a raiz está em (0{,}82,0{,}86).
  1. Refino fino: avaliar y=0{,}835 e y=0{,}837.
Para y=0{,}835:
A \approx 6{,}9639,\quad T = 8{,}34; \qquad 400T = 3336;
A^3 \approx 337{,}721,\quad 9{,}81A^3 \approx 3314{,}5;
f(0{,}835) \approx 3336 - 3314{,}5 = 21{,}5\\ (\text{positivo, pequeno}).
Para y=0{,}837:
A \approx 6{,}9873,\quad T \approx 8{,}348; \qquad 400T \approx 3339{,}2;
A^3 \approx 341{,}133,\quad 9{,}81A^3 \approx 3347{,}7;
f(0{,}837) \approx 3339{,}2 - 3347{,}7 = -8{,}5\\ (\text{negativo pequeno}).
Assim a raiz está entre 0{,}835 e 0{,}837. Como os valores de f são pequenos, fazemos interpolação linear para uma estimativa rápida:
y_c \approx 0{,}835 + \frac{0 - 21{,}5}{-8{,}5 - 21{,}5}\cdot (0{,}002) \approx 0{,}8364\\ \mathrm{m}.
Este valor já tem precisão compatível com o que se pede em prova (duas ou três casas decimais). Se for necessário, pode-se fazer mais uma iteração (por bisseção ou Newton) para refinar, mas o ganho é mínimo.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para prova.
  • Resultado: a profundidade crítica é pequena, cerca de 0{,}84\\ \mathrm{m}. Em prova, siga os passos que mostrei: montar Q^2 T = g A^3, escrever A(y) e T(y) explicitamente, achar um intervalo que contenha a raiz com sinais opostos e refinar por bisseção/intepolação. Para cálculos à mão, usar três casas decimais é suficiente.
  • Dica de exame: alinhe as contas (calcule A, depois A^3, depois compare 400T e 9{,}81A^3) — isso evita erros de ordem de grandeza e facilita ver rápido se está acima ou abaixo do ponto crítico.

Resposta

y_c \approx 0{,}836\\ \mathrm{m}

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