Em sistema de irrigação por aspersão que possui 250 m de tubulação linear de PVC ( \mathrm{C}=140 ) de 3 " ( 0,075 \mathrm{~m} ) conduz água em vazão de 0,005 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} até os aspersores. Nesta tubulação estão presentes os seguintes acessórios
2 Curvas de 45^{\circ}
1 Curva de 90^{\circ} R/D - 1^{\prime \prime}
3 Registros (válvulas) de globo aberto
1 Registro (Válvula) de gaveta
1 Tê de passagem direta
1Tê de saída lateral
1 Válvula de pé cm crivo
1 Válvula de retenção tipo leve
Utilizando o método dos comprimentos equivalentes, determine a perda de carga que ocorre nesta tubulação.
Escolha uma opção:
a. 1 mca
b. 3 mca
c. 5 mca
d. 7 mca
e. 9 mca

Passo 1

O enunciado pede para determinar a perda de carga total (em metros de coluna d’água, mca) numa tubulação de PVC de irrigação usando o método dos comprimentos equivalentes.
Informações dadas (vou listar tudo exatamente como no enunciado):
  • comprimento da tubulação: L=250\\ \mathrm{m}
  • material/tabela: C=140 (coeficiente de Hazen‑Williams para PVC)
  • diâmetro interno: d=0,075\\ \mathrm{m} (tubo 3")
  • vazão: Q=0,005\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}
  • acessórios presentes:
    • 2 curvas de 45^\circ
    • 1 curva de 90^\circ com razão R/D=1
    • 3 registros (válvulas) de globo (abertos)
    • 1 registro (válvula) de gaveta
    • 1 tê de passagem direta (corrida)
    • 1 tê de saída lateral (ramal)
    • 1 válvula de pé com crivo
    • 1 válvula de retenção (tipo leve)
  • pergunta: calcular a perda de carga total na tubulação (usar método dos comprimentos equivalentes) e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Plano de solução (sem ainda calcular): com o método dos comprimentos equivalentes fazemos duas coisas principais e somamos os resultados:
  1. calcular a perda por atrito ao longo do comprimento reto da tubulação (perda por atrito contínua) — aqui usaremos a fórmula de Hazen‑Williams porque o enunciado deu C;
  2. calcular as perdas localizadas (acessórios) transformando cada acessório num “comprimento equivalente” ou, de forma equivalente e didática, calcular suas perdas usando coeficientes de perda k e a cabeça dinâmica V^{2}/(2g). Depois somamos as perdas localizadas às perdas por atrito.
    Antes de aplicar fórmulas, preciso calcular a velocidade na tubulação — isso depende da área da secção.
Vou explicar as fórmulas que vou usar:
  • área da tubulação: \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}. Aqui A é em \mathrm{m}^{2} e d em \mathrm{m}.
  • velocidade média: \displaystyle V=\frac{Q}{A}. Aqui Q em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • perda por atrito (Hazen‑Williams, forma prática para água em condutas):
h_{f} = 10{,}67 \cdot \frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,d^{4{,}87}}
onde h_{f} é a perda por atrito em metros de coluna d’água, L em metros, Q em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}, C adimensional e d em metros. Vou aplicar essa fórmula diretamente.
  • perda localizada por acessório (método de coeficiente k):
h_{k} = k\cdot\frac{V^{2}}{2g}
onde k é o coeficiente adimensional do acessório, V é a velocidade média (m/s) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Se somarmos todos os k dos acessórios obtemos h_{m}=\left(\sum k\right)\frac{V^{2}}{2g}.

Passo 3

Calcular área e velocidade (passo-a-passo, explicando cada número):
  • área da secção:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0,075)^{2}}{4}.
Calculemos numericamente:
(0,075)^{2}=0,005625,
A=\frac{\pi\cdot 0,005625}{4}\approx 0,004418\\ \mathrm{m^{2}}.
  • velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0,005}{0,004418}\approx 1{,}132\\ \mathrm{m/s}.
Esse V é a velocidade da água no tubo e será usada nas perdas localizadas.

Passo 4

Calcular a perda por atrito com Hazen‑Williams (passo-a-passo):
Usamos
h_{f} = 10{,}67 \cdot \frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,d^{4{,}87}}.
Substituindo os valores:
L=250,\quad Q=0,005,\quad C=140,\quad d=0,075.
Primeiro calculemos os termos com expoentes (mostrando a ideia, sem saltar etapas):
  • Q^{1{,}852}\approx 0{,}005^{1{,}852}\approx 5{,}47\times 10^{-5}.
  • C^{1{,}852}\approx 140^{1{,}852}\approx 9{,}5\times 10^{3}.
  • d^{4{,}87}\approx 0{,}075^{4{,}87}\approx 3{,}33\times 10^{-6}.
Agora o numerador:
10{,}67\cdot L\cdot Q^{1{,}852}\approx 10{,}67\cdot 250\cdot 5{,}47\times 10^{-5}\approx 0{,}1459.
E o denominador:
C^{1{,}852}\,d^{4{,}87}\approx (9{,}5\times 10^{3})\cdot(3{,}33\times 10^{-6})\approx 0{,}0317.
Dividindo:
h_{f}\approx \frac{0{,}1459}{0{,}0317}\approx 4{,}60\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda por atrito ao longo dos 250\\ \mathrm{m} de tubulação de PVC, na vazão dada e usando C=140, é aproximadamente 4{,}60\\ \mathrm{mca}.
Observação didática rápida: a fórmula de Hazen‑Williams é empírica e muito usada em redes de água (é conveniente porque já incorpora rugosidade típica de tubos plásticos/metálicos via C). Ela dá diretamente a perda em metros para água sem envolver a viscosidade explicitamente.

Passo 5

Calcular as perdas localizadas (acessórios) pelo método dos coeficientes k.
Explicação: cada acessório tem um coeficiente adimensional k (tabelado em manuais) que indica quantas “cabeças dinâmicas” \frac{V^{2}}{2g} ele dissipa. Como não foi dada tabela no enunciado, uso valores típicos de tabelas de hidráulica para tubulações plásticas e acessórios comuns (vou explicitar os valores usados para cada item — em prova você também teria que consultar a tabela ou o enunciado poderia fornecer). Valores típicos adotados (justificativa: valores comuns em tabelas de engenharia para dimensão e tipo de acesso similar):
  • cada curva de 45^\circ: k=0{,}4 (duas delas → 2\times 0{,}4)
  • curva de 90^\circ R/D = 1 (cotovelo curta): k=1{,}5
  • registro (válvula) de globo (aberto): k=10 cada (três → 3\times 10) — válvula de globo é notoriamente resistiva
  • registro (válvula) de gaveta (totalmente aberta): k=0{,}2
  • tê de passagem direta (fluxo pela corrida): k=0{,}6
  • tê de saída lateral (ramal, onde há desvio): k=1{,}5
  • válvula de pé com crivo: k=2{,}0
  • válvula de retenção (tipo leve): k=2{,}0
Esses k são valores típicos; se você tiver outra tabela use os valores dela, mas a metodologia é a mesma.

Passo 6

Somar os k e calcular a perda localizada total:
  • soma dos k:
\sum k = 2\cdot 0{,}4 + 1{,}5 + 3\cdot 10 + 0{,}2 + 0{,}6 + 1{,}5 + 2{,}0 + 2{,}0.
Calculemos passo a passo:
2\cdot 0{,}4 = 0{,}8,
3\cdot 10 = 30,
então
\sum k = 0{,}8 + 1{,}5 + 30 + 0{,}2 + 0{,}6 + 1{,}5 + 2{,}0 + 2{,}0 = 38{,}6.
Agora a cabeça dinâmica:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(1{,}132)^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx \frac{1{,}282}{19{,}62}\approx 0{,}0653\\ \mathrm{m}.
Perda localizada total:
h_{m}=\left(\sum k\right)\frac{V^{2}}{2g}=38{,}6\cdot 0{,}0653\approx 2{,}52\\ \mathrm{m}.
Interpretação: todos os acessórios juntos causam aproximadamente 2{,}52\\ \mathrm{mca} de perda.

Passo 7

Soma final: perda total H = perda por atrito + perda localizada:
H = h_{f} + h_{m} \approx 4{,}60 + 2{,}52 = 7{,}12\\ \mathrm{m}.
Arredondando para um número inteiro representativo (e considerando precisão típica de tabelas), temos cerca de 7\\ \mathrm{mca}. Isso encaixa na alternativa (d).
Comentário final e motivacional: deu trabalho, eu sei — mas o esquema é sempre o mesmo: velocidade → atrito (Hazen‑Williams aqui) → calcular V^{2}/(2g) → somar perdas locais com k. Se mudar a vazão, o atrito muda fortemente (veja potências em Hazen‑Williams) e as perdas locais mudam linearmente com V^{2}. Você consegue repetir isso em outras questões seguindo os passos.

Resposta

d. 7 mca

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