Uma tubulação está sendo dimensionada para conduzir água para um sistema de irrigação por Pivô Central, que deverá aplicar a vazão de 119 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Sabendo que esta tubulação será constituída de 120 m de tubos de aço zincado ( \mathrm{C}=100 ) com diâmetro de 150 mm . Estime qual deverá ser a perda de carga contínua que ocorrerá nesta tubulação?

Passo 1

O enunciado pede para estimar a perda de carga contínua que ocorrerá numa tubulação de comprimento 120\\ \mathrm{m} feita com tubos de aço zincado (coeficiente C=100), com diâmetro 150\\ \mathrm{mm}, transportando água com vazão de 119\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.\n
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • Comprimento da tubulação: L = 120\\ \mathrm{m}.\n
  • Material / coeficiente de condução: C = 100 (fornecido como parâmetro típico de Hazen–Williams).\n
  • Diâmetro interno: D = 150\\ \mathrm{mm} = 0{,}150\\ \mathrm{m}.\n
  • Vazão volumétrica requerida: Q = 119\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.\n
    Pergunta a responder:\n
  • Qual é a perda de carga contínua (ou seja, a perda de carga linear total ao longo dos 120\\ \mathrm{m}) nessa tubulação?

Passo 2

Escolha do método de cálculo (por que usar Hazen–Williams):\n
O enunciado fornece um valor C=100. Esse C é o coeficiente típico da fórmula de Hazen–Williams para escoamento de água em condutos: quando o enunciado dá C, isso indica claramente o uso da fórmula de Hazen–Williams. Portanto usaremos Hazen–Williams para estimar a perda de carga contínua. Não usamos Darcy–Weisbach aqui porque o enunciado já deu C (e Hazen–Williams é mais direto para água e para projetos práticos de irrigação).

Passo 3

Apresentação da fórmula de Hazen–Williams e significado das variáveis:\n
A forma prática em unidades SI (m, m^3/s) para perda de carga em metros é:\n
h_f = \frac{10{,}67 \, L \, Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852} \, D^{4{,}87}}\n
Onde:\n
  • h_f é a perda de carga ao longo do comprimento L (em metros de coluna d’água).\n
  • L é o comprimento da tubulação (em metros).\n
  • Q é a vazão volumétrica (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).\n
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), fornecido como 100.\n
  • D é o diâmetro interno da tubulação (em metros).\n
    A constante 10{,}67 ajusta unidades para dar h_f em metros quando Q está em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, D em metros e L em metros.

Passo 4

Conversões de unidades e valores numéricos iniciais:\n
  • Converter a vazão de \mathrm{m}^3/\mathrm{h} para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:\n
Q = \frac{119}{3600}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 0{,}0330555556\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
  • Diâmetro em metros: D = 0{,}150\\ \mathrm{m}.\n
  • Comprimento: L = 120\\ \mathrm{m}.\n
  • Coeficiente: C = 100.

Passo 5

Calcular Q^{1{,}852}:\n
Primeiro tomamos Q = 0{,}0330555556. Agora elevamos a potência 1{,}852.\n
Usando logaritmos ou calculadora mental aproximada (a explicação do processo): se \ln Q = \ell, então Q^{1{,}852} = e^{1{,}852\ell}. Vou calcular numericamente:\n
\ln(0{,}0330555556)\approx -3{,}4089,\n
1{,}852\cdot(-3{,}4089)\approx -6{,}3143,\n
Q^{1{,}852} = e^{-6{,}3143} \approx 0{,}001809.\n
Portanto Q^{1{,}852}\approx 0{,}001809.

Passo 6

Calcular C^{1{,}852} e D^{4{,}87}:\n
  • Para C=100:\n
C^{1{,}852} = 100^{1{,}852} = 10^{2\cdot 1{,}852} = 10^{3{,}704}\approx 5{,}06\times 10^{3}\approx 5060.\n
  • Para D=0{,}150\\ \mathrm{m}:\n
D^{4{,}87} = 0{,}150^{4{,}87}.\n
Novamente usando logaritmo: \ln(0{,}150)\approx -1{,}8971. Então\n
4{,}87\cdot(-1{,}8971)\approx -9{,}239,\n
D^{4{,}87}=e^{-9{,}239}\approx 9{,}75\times 10^{-5}.\n
Portanto C^{1{,}852}\approx 5060 e D^{4{,}87}\approx 9{,}75\times 10^{-5}.

Passo 7

Substituir os valores na fórmula e calcular o numerador e denominador separadamente:\n
Numerador:\n
10{,}67\cdot L\cdot Q^{1{,}852} = 10{,}67\cdot 120\cdot 0{,}001809.\n
Calculemos em etapas: 10{,}67\cdot 120 = 1280{,}4. Então\n
1280{,}4\cdot 0{,}001809 \approx 2{,}31624.\n
Denominador:\n
C^{1{,}852}\cdot D^{4{,}87} \approx 5060\cdot 9{,}75\times 10^{-5}.\n
Calcule: 5060\cdot 9{,}75\times 10^{-5} = 5060\cdot 0{,}0000975 \approx 0{,}49335.

Passo 8

Calcular a perda de carga total h_f:\n
h_f = \frac{2{,}31624}{0{,}49335}\approx 4{,}695\\ \mathrm{m}.\n
Arredondando com sentido prático para projeto (duas casas decimais): h_f \approx 4{,}70\\ \mathrm{m} ao longo dos 120\\ \mathrm{m} de tubulação.\n
Interpretação: essa é a perda de carga contínua total (queda de carga, em metros de coluna d’água) ao longo da tubulação de 120\\ \mathrm{m} com as condições dadas.

Resposta

4{,}70\\ \mathrm{m}

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