O sistema \left\{\begin{array}{l}k^{2} x-y=0 \\\ x+k y=0\end{array}\right. nas incógnitas x e y:
a) é impossível se k \neq-1
b) admite apenas a solução trivial se k=1
c) é possível e indeterminado se k=-1
d) é impossível para todo k real
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear homogêneo em x\) e \(y\) que depende do parâmetro \(k\):
\[\begin{cases} k^{2}x - y = 0,\\\ x + k\,y = 0.
O que precisamos é usar o critério do determinante para sistemas lineares: se o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo, a única solução é a trivial ((0,0)]; se for zero, ou não há solução ou há infinitas.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = \begin{pmatrix} k^2 & -1\\\\ 1 & k \end{pmatrix}, \quad \det(A) = k^2\cdot k - (-1)\cdot1 = k^3 + 1.
Passo 3
Se \det(A)\neq 0, isto é, k^3+1\neq 0, então o sistema admite apenas a solução trivial (x,y)=(0,0). O fato de k=1 é apenas um caso particular desse cenário, mas vale para todo k tal que k^3+1\neq 0.