O modelo em função de transferência de um sistema linear contínuo é dado por
G(s)=100s^2+10 s+100
Para esse sistema, foi obtido um modelo equivalente discreto, com zero order hold, usando um período de amostragem de 10 ms. Considere que, para uma entrada degrau unitário, o tempo de acomodação (settling time) da resposta é calculado por Ts=5varsigma omegan, onde varsigma é a razão de amortecimento, e omegan é a frequência natural não amortecida do sistema contínuo.
Supondo que o sistema discretizado tenha o mesmo desempenho que o sistema contínuo, aproximadamente, quantas amostras levará o sistema discreto para atingir o estado estacionário, partindo do instante inicial?
(A) 250
(B) 150
© 100
(D) 80
(E) 50

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: a gente tem um sistema contínuo com função de transferência
Ts=5varsigma,omegan,
e a gente discretizou ele com ZOH usando omegan^2s^2 + 2varsigmaomegan s + omegan^2 . Na matéria de teoria de controle de sistemas de segunda ordem, o tempo de acomodação pra um degrau é
onde é a razão de amortecimento e a frequência natural do sistema contínuo. Como assumimos que o discreto vai “acomodar” no mesmo tempo, a pergunta ultimate é: quantas amostras esse tempo de acomodação dá, sabendo que cada amostra é 0,01 s?
O que a gente vai usar:
  1. Como identificar e comparando com a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
  1. A fórmula do tempo de acomodação.
  2. Converter tempo em número de amostras dividindo por s.

Passo 2

Primeiro, igualamos o denominador dado
s^2 + 10s + 100
à forma padrão
s^2 + 2varsigmaomegan s + omegan^2
Isso nos dá dois “matchs” de coeficientes:
  1. .
  2. .

Passo 3

Da equação omegan = raiz100 = 10 rad/s tiramos
2varsigmacdot 10 = 10 Longrightarrow varsigma = 1020 = 0.5
Substituindo em , temos

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do tempo de acomodação
Ts = 5varsigma,omegan = 50.5 times 10 = 55 = 1 s

Passo 5

Pra saber quantas amostras cabem em 1 s, dividimos pelo período de amostragem Número de amostras = TsT = 10,01 = 100 s:
ú

Resposta

Vai levar aproximadamente 100 amostras para atingir o estado estacionário (alternativa C).

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