Um sistema linear invariante no tempo possui como resposta ao impulso unitário a seguinte expressão: h(t)=7 e^{-\pi t} u(t), onde u(t) representa um degrau unitário. Determine a resposta no tempo desse sistema para uma entrada x(t)=t, considerando condições iniciais nulas.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A resposta ao impulso é h(t)=7 e^{-\pi t} u(t).
  • A entrada é x(t)=t.
  • Condições iniciais nulas (sistema em repouso antes de t=0).
Observação importante (hipótese padrão): como o sistema está em repouso antes de t=0 e h(t) contém u(t) (logo o sistema é causal), vou assumir que a entrada é aplicada a partir de t=0, isto é, considerar implicitamente x(t)=t\,u(t). Essa é a hipótese usual em exercícios deste tipo; a seguir trabalho com essa hipótese.
O que se pede: determinar a saída no tempo y(t) do sistema (saída para todo t), considerando as condições iniciais nulas.

Passo 2

A ideia / regra que vamos usar: para um sistema linear invariante no tempo (LTI), a saída é a convolução entre a entrada e a resposta ao impulso:
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Explicando essa fórmula de forma simples: para cada instante t somamos (integrando) a contribuição de todo o passado de h multiplicado pelo valor apropriado da entrada atrasada x(t-\tau). Aqui \tau é a variável de integração (um índice de tempo interno).
Como h(\tau) contém u(\tau), temos h(\tau)=0 para \tau<0. Além disso assumimos x(t)=t\,u(t), então x(t-\tau)= (t-\tau)\,u(t-\tau). Ao montar a integral de convolução, as funções u(\tau) e u(t-\tau) restringem os limites: para t<0 a saída será zero; para t\ge 0 a integral não é nula e os limites efetivos vão de \tau=0 a \tau=t. Portanto, para t\ge 0:
y(t)=\int_{0}^{t} 7 e^{-\pi \tau}\,(t-\tau)\,d\tau.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a integral (para t\ge 0):
y(t)=7\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,(t-\tau)\,d\tau.
Vamos agora desenvolver essa integral passo a passo. Primeiro expandimos o integrando para separar termos fáceis de integrar:
(t-\tau)e^{-\pi \tau}=t\,e^{-\pi \tau}-\tau e^{-\pi \tau}.
Assim:
y(t)=7\left[ t\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau \;-\; \int_{0}^{t} \tau e^{-\pi \tau}\,d\tau \right].
Chamemos
I_1(t)=\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau, \qquad I_2(t)=\int_{0}^{t} \tau e^{-\pi \tau}\,d\tau.
Calculamos I_1 e I_2 separadamente.

Passo 4

Cálculo de I_1(t). Essa é uma integral exponencial simples:
I_1(t)=\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau.
A primitiva de e^{-\pi \tau} é -\dfrac{1}{\pi}e^{-\pi \tau}. Avaliando de 0 a t:
I_1(t)=\left[-\frac{1}{\pi}e^{-\pi \tau}\right]_{0}^{t}=-\frac{1}{\pi}e^{-\pi t}+\frac{1}{\pi}=\frac{1-e^{-\pi t}}{\pi}.
Explicando rapidamente: integrar uma exponencial do tipo e^{-a\tau} -\frac{1}{a}e^{-a\tau}, porque a derivada de e^{-a\tau} traz um fator -a que cancela.

Passo 5

Cálculo de I_2(t)=\int_{0}^{t} \tau e^{-\pi \tau}\,d\tau. Aqui usamos integração por partes. Regra de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=\tau (assim du=d\tau) e dv=e^{-\pi \tau}d\tau (assim v=-\dfrac{1}{\pi}e^{-\pi \tau}). Aplicando:
I_2(t)=\left. \tau\left(-\frac{1}{\pi}e^{-\pi \tau}\right)\right|_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \left(-\frac{1}{\pi}e^{-\pi \tau}\right)\,d\tau.
Avaliaremos cada termo:
  • O termo de limite é -\dfrac{t}{\pi}e^{-\pi t} - \left(-\dfrac{0}{\pi}e^{0}\right) = -\dfrac{t}{\pi}e^{-\pi t} (o limite inferior é zero).
  • A integral restante é \dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau, que já calculamos como I_1(t).
Portanto:
I_2(t) = -\frac{t}{\pi}e^{-\pi t} + \frac{1}{\pi}I_1(t).
Substituindo I_1(t)=\dfrac{1-e^{-\pi t}}{\pi}:
I_2(t) = -\frac{t}{\pi}e^{-\pi t} + \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1-e^{-\pi t}}{\pi} = -\frac{t}{\pi}e^{-\pi t} + \frac{1}{\pi^{2}} - \frac{e^{-\pi t}}{\pi^{2}}.
Reorganizando:
I_2(t)=\frac{1}{\pi^{2}} - e^{-\pi t}\!\left(\frac{t}{\pi}+\frac{1}{\pi^{2}}\right).

Passo 6

Agora voltamos para y(t) e substituímos I_1 e I_2:
y(t)=7\left[ t\cdot\frac{1-e^{-\pi t}}{\pi} \;-\; \left(\frac{1}{\pi^{2}} - e^{-\pi t}\!\left(\frac{t}{\pi}+\frac{1}{\pi^{2}}\right)\right)\right].
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro distribua o 7:
y(t)=\frac{7t}{\pi}\bigl(1-e^{-\pi t}\bigr) - \frac{7}{\pi^{2}} + 7 e^{-\pi t}\!\left(\frac{t}{\pi}+\frac{1}{\pi^{2}}\right).
Juntando os termos que envolvem e^{-\pi t}:
-\frac{7t}{\pi}e^{-\pi t} + 7 e^{-\pi t}\left(\frac{t}{\pi}+\frac{1}{\pi^{2}}\right)= e^{-\pi t}\cdot\frac{7}{\pi^{2}}.
Então os termos sem exponencial são \dfrac{7t}{\pi}-\dfrac{7}{\pi^{2}}. Assim:
y(t)=\frac{7t}{\pi}-\frac{7}{\pi^{2}} + \frac{7}{\pi^{2}}e^{-\pi t}.
Factorizando \dfrac{7}{\pi^{2}} para deixar mais compacto:
y(t)=\frac{7}{\pi^{2}}\bigl(\pi t - 1 + e^{-\pi t}\bigr).
Lembrando que tudo vale para t\ge 0; para t<0 temos y(t)=0 porque o sistema está em repouso e consideramos entrada causal. Portanto podemos multiplicar por u(t) para indicar isso.

Passo 7

Conclusão e checagens rápidas (sanity checks):
  • Em t=0: y(0)=\dfrac{7}{\pi^{2}}(0-1+1)=0, consistente com sistema inicialmente em repouso.
  • Para grandes t o termo exponencial some e obtemos crescimento linear aproximado y(t)\approx \dfrac{7}{\pi}\,t - \dfrac{7}{\pi^{2}}, o que faz sentido porque entrada cresce linearmente.

Resposta

y(t)=\frac{7}{\pi^{2}}\bigl(\pi t - 1 + e^{-\pi t}\bigr)\,u(t)

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