Um sistema linear invariante no tempo possui como resposta ao impulso unitário a seguinte expressão: h(t)=7 e^{-\pi t} u(t), onde u(t) representa um degrau unitário. Determine a resposta no tempo desse sistema para uma entrada x(t)=t, considerando condições iniciais nulas.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
A resposta ao impulso é h(t)=7 e^{-\pi t} u(t).
A entrada é x(t)=t.
Condições iniciais nulas (sistema em repouso antes de t=0).
Observação importante (hipótese padrão): como o sistema está em repouso antes de t=0 e h(t) contém u(t) (logo o sistema é causal), vou assumir que a entrada é aplicada a partir de t=0, isto é, considerar implicitamente x(t)=t\,u(t). Essa é a hipótese usual em exercícios deste tipo; a seguir trabalho com essa hipótese.
O que se pede: determinar a saída no tempo y(t) do sistema (saída para todo t), considerando as condições iniciais nulas.
Passo 2
A ideia / regra que vamos usar: para um sistema linear invariante no tempo (LTI), a saída é a convolução entre a entrada e a resposta ao impulso:
Explicando essa fórmula de forma simples: para cada instante t somamos (integrando) a contribuição de todo o passado de h multiplicado pelo valor apropriado da entrada atrasada x(t-\tau). Aqui \tau é a variável de integração (um índice de tempo interno).
Como h(\tau) contém u(\tau), temos h(\tau)=0 para \tau<0. Além disso assumimos x(t)=t\,u(t), então x(t-\tau)= (t-\tau)\,u(t-\tau). Ao montar a integral de convolução, as funções u(\tau) e u(t-\tau) restringem os limites: para t<0 a saída será zero; para t\ge 0 a integral não é nula e os limites efetivos vão de \tau=0 a \tau=t. Portanto, para t\ge 0:
Explicando rapidamente: integrar uma exponencial do tipo e^{-a\tau} dá -\frac{1}{a}e^{-a\tau}, porque a derivada de e^{-a\tau} traz um fator -a que cancela.
Passo 5
Cálculo de I_2(t)=\int_{0}^{t} \tau e^{-\pi \tau}\,d\tau. Aqui usamos integração por partes. Regra de integração por partes:
Factorizando \dfrac{7}{\pi^{2}} para deixar mais compacto:
y(t)=\frac{7}{\pi^{2}}\bigl(\pi t - 1 + e^{-\pi t}\bigr).
Lembrando que tudo vale para t\ge 0; para t<0 temos y(t)=0 porque o sistema está em repouso e consideramos entrada causal. Portanto podemos multiplicar por u(t) para indicar isso.
Passo 7
Conclusão e checagens rápidas (sanity checks):
Em t=0: y(0)=\dfrac{7}{\pi^{2}}(0-1+1)=0, consistente com sistema inicialmente em repouso.
Para grandes t o termo exponencial some e obtemos crescimento linear aproximado y(t)\approx \dfrac{7}{\pi}\,t - \dfrac{7}{\pi^{2}}, o que faz sentido porque entrada cresce linearmente.
Resposta
y(t)=\frac{7}{\pi^{2}}\bigl(\pi t - 1 + e^{-\pi t}\bigr)\,u(t)