Obter uma representação do sistema no espaço de estados (ou seja, escrever \dot{x}=Ax+Bu e y=Cx+Du escolhendo estados apropriados).
Obter a função de transferência \dfrac{Y(s)}{U(s)}.
Informações relevantes fornecidas:
A variável de saída é y(t).
A entrada é u(t).
Não foram dadas condições iniciais (para obter a função de transferência assumiremos condições iniciais nulas).
Trata‑se de um sistema linear, tempo-invariante, de ordem 3 (porque aparece a derivada de terceira ordem).
Passo 2
Escolher estados de maneira natural e didática: vamos definir os estados como as derivadas sucessivas de y. Esta escolha é muito usada porque transforma uma EDO de ordem n num sistema de n equações de primeira ordem.
Explicação rápida: cada x_i é uma função do tempo. A derivada de x_1 é x_2, a derivada de x_2 é x_3. A derivada de x_3 envolve a derivada terceira de y, que podemos obter isolando a equação dada.
Passo 3
Obter as equações de estado em termos de x e u.
Sabendo que \dfrac{d^{3}y}{dt^{3}} = \dfrac{d x_{3}}{dt} e usando a equação original:
A matriz A tem a estrutura de forma canônica (companion) para a escolha de estados x_1,y',y'': as primeiras duas linhas deslocam as derivadas; a terceira linha contém os coeficientes da rotina que expressa \dot{x}_3 em função dos estados.
O vetor B indica que apenas a terceira equação depende diretamente de u.
Para a saída y(t)=x_{1}(t) temos
C = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad D = \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}.]
Passo 5
Resumo didático da representação no espaço de estados obtida:
Comentário amigo: essa é a forma “mais direta” e é a que geralmente se pede em provas quando a equação tem coeficientes constantes.]
Passo 6
Agora vamos obter a função de transferência \dfrac{Y(s)}{U(s)} usando a transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas, que é o procedimento padrão para obter a TF).
(verificação alternativa via espaço de estados, didática opcional curta)
A relação geral é \;G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B+D\;. Para as matrizes encontradas tem-se, resolvendo (sI-A)^{-1}B (resolver o sistema linear (sI-A)x=B e então G(s)=C x), que conduz exatamente a
G(s)=\frac{1}{s^{3}+s^{2}+s},
confirmando a consistência entre as duas abordagens.