Para um sistema LTIC descrito pela seguinte função de transferência:
H(s)=\frac{-(s-10)}{s+10}
Encontre a equação para a resposta de amplitude e de fase e calcule a resposta para cada uma das seguintes entradas:
(b) \sin 2 t

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
H(s)=\frac{-(s-10)}{s+10},
e pede duas coisas:
  • achar a equação da resposta de amplitude |H(j\omega)| e da resposta de fase \angle H(j\omega) (funções de \omega);
  • calcular a resposta do sistema quando a entrada é \sin 2t.
Informações relevantes fornecidas:
  • H(s) está dada explicitamente e podemos avaliar em s=j\omega para obter as respostas em frequência.
  • A entrada solicitada tem frequência \omega=2\\ \text{rad/s}.

Passo 2

Substituir s=j\omega em H(s) para obter H(j\omega). Começando por escrever:
H(j\omega)=\frac{-(j\omega-10)}{j\omega+10}.
Simplificando o numerador: j\omega-10=-\,(10-j\omega), então
-(j\omega-10)=10-j\omega.
Portanto uma forma mais conveniente é
H(j\omega)=\frac{10-j\omega}{10+j\omega}.

Passo 3

Vamos achar a resposta de amplitude |H(j\omega)|. Lembrete rápido (fórmula usada): para um número complexo a+jb a magnitude é \sqrt{a^2+b^2}. Aplicando isso ao numerador e denominador:
|10-j\omega|=\sqrt{10^2+(-\omega)^2}=\sqrt{10^2+\omega^2}, \qquad |10+j\omega|=\sqrt{10^2+\omega^2}.
Assim
|H(j\omega)|=\frac{|10-j\omega|}{|10+j\omega|} =\frac{\sqrt{10^2+\omega^2}}{\sqrt{10^2+\omega^2}}=1.
Interpretação prática: o sistema é um filtro “all-pass” em amplitude (ganho unitário para todas as frequências).

Passo 4

Agora a resposta de fase \angle H(j\omega). Lembrete rápido (fórmula usada): o argumento de a+jb é \arctan\!\big(\tfrac{b}{a}\big), lembrando de ajustar o quadrante conforme o sinal de a e b. Aqui:
\angle(10-j\omega)=\arctan\!\left(\frac{-\omega}{10}\right)=-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right),
\angle(10+j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
A fase do quociente é a diferença:
\angle H(j\omega)=\angle(10-j\omega)-\angle(10+j\omega) =-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right) =-2\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Portanto a equação da fase é
\angle H(j\omega) = -2\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Observação sobre ramo: como a parte real 10>0, as fórmulas de \arctan acima estão no ramo principal e não há ajuste adicional de \pi.

Passo 5

Como o sistema é LTI, para uma entrada senoidal de amplitude 1 e frequência \omega,
x(t)=\sin(\omega t),
a resposta no regime estacionário é
y(t)=|H(j\omega)|\sin\big(\omega t + \angle H(j\omega)\big).
Explicando: representa-se \sin(\omega t) como a parte imaginária de e^{j\omega t}; o sistema multiplica esse fasor por H(j\omega), o que muda amplitude e fase conforme |H(j\omega)| e \angle H(j\omega). Aqui já achamos |H(j\omega)| e \angle H(j\omega).

Passo 6

Aplicar ao caso pedido: entrada \sin 2t tem \omega=2. Usando as fórmulas encontradas:
  • amplitude:
|H(j2)|=1.
  • fase:
\angle H(j2) = -2\arctan\!\left(\frac{2}{10}\right) = -2\arctan\!\left(\frac{1}{5}\right).
Valor numérico aproximado (opcional para uso em prova):
\arctan\!\left(\frac{1}{5}\right)\approx 0,19739556\\ \text{rad},
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\angle H(j2)\approx -0,3947911\\ \text{rad}\approx -22,61^\circ.
Assim a resposta no regime permanente é
y(t)=\sin\!\big(2t - 2\arctan\!\left(\tfrac{1}{5}\right)\big)
ou numericamente
y(t)\approx \sin\big(2t - 0,39479\big).

Resposta

|H(j\omega)| = 1\newline
\angle H(j\omega) = -2\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right)\newline
Para x(t)=\sin 2t: \displaystyle y(t)=\sin\!\big(2t - 2\arctan\!\left(\tfrac{1}{5}\right)\big)\approx \sin\big(2t - 0,39479\big)

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