Para um sistema LTIC descrito pela seguinte função de transferência:
Encontre a equação para a resposta de amplitude e de fase e calcule a resposta para cada uma das seguintes entradas:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a função de transferência
e pede duas coisas:
- achar a equação da resposta de amplitude
e da resposta de fase (funções de ); - calcular a resposta do sistema quando a entrada é
.
Informações relevantes fornecidas:
-
está dada explicitamente e podemos avaliar em para obter as respostas em frequência. - A entrada solicitada tem frequência
.
Passo 2
Substituir
em
para obter
. Começando por escrever:
Simplificando o numerador:
, então
Portanto uma forma mais conveniente é
Passo 3
Vamos achar a resposta de amplitude
. Lembrete rápido (fórmula usada): para um número complexo
a magnitude é
. Aplicando isso ao numerador e denominador:
Assim
Interpretação prática: o sistema é um filtro “all-pass” em amplitude (ganho unitário para todas as frequências).
Passo 4
Agora a resposta de fase
. Lembrete rápido (fórmula usada): o argumento de
é
, lembrando de ajustar o quadrante conforme o sinal de
e
. Aqui:
A fase do quociente é a diferença:
Portanto a equação da fase é
Observação sobre ramo: como a parte real
, as fórmulas de
acima estão no ramo principal e não há ajuste adicional de
.
Passo 5
Como o sistema é LTI, para uma entrada senoidal de amplitude
e frequência
,
a resposta no regime estacionário é
Explicando: representa-se
como a parte imaginária de
; o sistema multiplica esse fasor por
, o que muda amplitude e fase conforme
e
. Aqui já achamos
e
.
Passo 6
Aplicar ao caso pedido: entrada
tem
. Usando as fórmulas encontradas:
- amplitude:
- fase:
Valor numérico aproximado (opcional para uso em prova):
logo
Assim a resposta no regime permanente é
ou numericamente
Resposta
Para