Para um sistema LTIC descrito pela seguinte função de transferência:
H(s)=\frac{-(s-10)}{s+10}
Encontre a equação para a resposta de amplitude e de fase e calcule a resposta para cada uma das seguintes entradas:
(d) \cos 100 t

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
H(s)=\frac{-(s-10)}{s+10}
e pede duas coisas:
  • Encontrar as equações da resposta de amplitude e da resposta de fase em função de \omega.
  • Calcular a resposta do sistema quando a entrada for \cos 100 t (item (d)).
Informações relevantes dadas:
  • A função de transferência completa é \;H(s)=-(s-10)/(s+10).
  • A entrada considerada no item (d) é \cos 100 t, que tem frequência angular \omega=100\\ \text{rad/s}.

Passo 2

Por que usamos H(j\omega)? Para um sistema LTIC, a resposta em regime permanente a uma entrada senoidal \cos(\omega t) é dada por multiplicar a amplitude e somar a fase da função de transferência avaliada em s=j\omega. Matematicamente, se a entrada é \cos(\omega t), a saída em regime permanente é
y(t)=|H(j\omega)|\cos\big(\omega t+\angle H(j\omega)\big).
Aqui |H(j\omega)| é a amplitude (ganho) e \angle H(j\omega) é a fase (em radianos) do número complexo H(j\omega).

Passo 3

Calcule H(j\omega) substituindo s=j\omega:
H(j\omega) = -\frac{j\omega-10}{j\omega+10}.
Para trabalhar a amplitude e a fase, é útil separar módulo e argumento.

Passo 4

Cálculo do módulo |H(j\omega)|.
O módulo de um produto/quotiente de complexos satisfaz
|H(j\omega)| = \left|-\frac{j\omega-10}{j\omega+10}\right| = \frac{|j\omega-10|}{|j\omega+10|},
pois |-1|=1.
Agora calcule os módulos dos termos no numerador e denominador:
|j\omega-10| = \sqrt{(-10)^2 + (\omega)^2} = \sqrt{\omega^2+10^2},
|j\omega+10| = \sqrt{(10)^2 + (\omega)^2} = \sqrt{\omega^2+10^2}.
Como os radicais são iguais, obtemos a expressão geral da amplitude:
|H(j\omega)| = \frac{\sqrt{\omega^2+10^2}}{\sqrt{\omega^2+10^2}} = 1.
Portanto a resposta de amplitude é constante e igual a 1 para todo \omega.
Pequena interpretação prática: o sistema é um all-pass (ganho unitário para todas as frequências).

Passo 5

Cálculo da fase \angle H(j\omega).
O argumento (fase) de H(j\omega) pode ser escrito como soma/diferença de argumentos:
\angle H(j\omega) = \angle(-1) + \angle(j\omega-10) - \angle(j\omega+10).
Note que \angle(-1)=\pi (ou -\pi; usaremos uma forma contínua a seguir).
Para um número complexo a+jb, \angle(a+jb)=\operatorname{atan2}(b,a). Aplicando isso:
\angle(j\omega-10)=\operatorname{atan2}(\omega,-10), \qquad \angle(j\omega+10)=\operatorname{atan2}(\omega,10).
Para \omega\ge 0 (caso usual em análise de sinais),
\operatorname{atan2}(\omega,-10)=\pi-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right), \qquad \operatorname{atan2}(\omega,10)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Substituindo em \angle H(j\omega):
\angle H(j\omega) = \pi + \big(\pi-\arctan(\tfrac{\omega}{10})\big) - \arctan(\tfrac{\omega}{10}) = 2\pi - 2\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Como a fase pode ser reduzida módulo 2\pi, uma forma mais simples e usual é
\angle H(j\omega) = -2\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Essa expressão dá a mesma fase principal (diferençando por múltiplos de 2\pi) e é contínua em \omega\ge0. Verificações rápidas: para \omega=0 obtém-se \angle H=0; para \omega\to\infty obtém-se \angle H\to -\pi (equivalente a +\pi).

Passo 6

Resumo das equações encontradas (formas finais):
|H(j\omega)| = 1, \qquad \angle H(j\omega) = -2\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Essas são as equações gerais da resposta de amplitude e de fase pedidas.

Passo 7

Agora calcule a resposta para a entrada do item (d): \cos 100 t. Aqui \omega=100.
Amplitude:
|H(j100)| = 1.
Fase:
\angle H(j100) = -2\arctan\!\left(\frac{100}{10}\right) = -2\arctan(10).
Calcule aproximadamente \arctan(10):
\arctan(10) \approx 1{,}4711276743\\ \text{rad},
então
\angle H(j100) \approx -2 \times 1{,}4711276743 = -2{,}9422553486\\ \text{rad}.
Em graus, isso é aproximadamente -168{,}578^\circ (não é necessário para a resposta, mas útil para intuição).

Passo 8

Construção da saída em regime permanente. Usando a regra
y(t)=|H(j\omega)|\cos\big(\omega t+\angle H(j\omega)\big),
obtemos para \omega=100:
y(t)=\cos\!\big(100 t - 2\arctan(10)\big) \approx \cos\big(100 t - 2{,}9422553486\big).

Resposta

|H(j\omega)| = 1
\angle H(j\omega) = -2\arctan\!\big(\dfrac{\omega}{10}\big)
y(t)=\cos\!\big(100 t - 2\arctan(10)\big)\\ \approx\\ \cos\big(100 t - 2{,}9422553486\big)

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