Para um sistema LTIC descrito pela seguinte função de transferência:
H(s)=\frac{s+2}{s^{2}+5 s+4}
Encontre a equação para a resposta de amplitude e de fase e calcule a resposta para cada uma das seguintes entradas:
(c) 10 \cos \left(3 t+40^{\circ}\right)
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do sistema e pede a equação da resposta de amplitude e de fase, e em seguida a resposta para a entrada dada. Informações relevantes:
Função de transferência: H(s)=\frac{s+2}{s^{2}+5 s+4}.
Entrada do item (c): 10\cos\left(3t+40^\circ\right).
O que é pedido:
A equação geral da resposta em amplitude |H(j\omega)| e da resposta em fase \angle H(j\omega).
Avaliar essas expressões em \omega=3 e dar a resposta em tempo (saída em regime permanente) para a entrada dada.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática e passo a passo):
Para um sistema linear, tempo invariante e causal em regime permanente, a resposta a uma entrada senoidal A\cos(\omega t+\varphi) é outra senóide com a mesma frequência \omega, obtida multiplicando a fasor de entrada pelo valor do ganho em frequência H(j\omega).
Substituímos s=j\omega em H(s) para obter a resposta em frequência: H(j\omega)=\frac{j\omega+2}{(j\omega)^{2}+5j\omega+4}.
A amplitude (módulo) de H(j\omega) é a razão entre os módulos do numerador e do denominador: |H(j\omega)|=\frac{|j\omega+2|}{\left|(j\omega)^{2}+5j\omega+4\right|}.
A fase (ângulo) de H(j\omega) é a diferença entre os argumentos (fases) do numerador e do denominador: \angle H(j\omega)=\arg(j\omega+2)-\arg\big((j\omega)^{2}+5j\omega+4\big).
Explicando as partes reais e imaginárias (para poder calcular na prova sem calculadora passo a passo):
Numerador: j\omega+2 tem parte real 2 e parte imaginária \omega. Logo |j\omega+2|=\sqrt{2^{2}+\omega^{2}} e \arg(j\omega+2)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right) (lembrar do cuidado com quadrantes; aqui 2>0 então a fórmula direta vale).
Denominador: (j\omega)^{2}+5j\omega+4 = -\omega^{2}+j5\omega+4. Agrupando a parte real: 4-\omega^{2} e parte imaginária: 5\omega. Então \left|(j\omega)^{2}+5j\omega+4\right|=\sqrt{(4-\omega^{2})^{2}+(5\omega)^{2}},
Agora vamos aplicar \omega=3 (frequência da entrada). Primeiro as partes reais/imaginárias avaliadas:
Numerador: parte real =2, parte imaginária =\omega=3. Então |j3+2|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Denominador: parte real =4-\omega^{2}=4-9=-5, parte imaginária =5\omega=15. Então \left|(j3)^{2}+5j3+4\right|=\sqrt{(-5)^{2}+15^{2}}=\sqrt{25+225}=\sqrt{250}.
Interpretação: o sistema introduz uma defasagem de aproximadamente -52{,}125^\circ àquela frequência.
Passo 5
Resposta em regime permanente para a entrada \;10\cos(3t+40^\circ):
Regra prática: se a entrada é A\cos(\omega t+\varphi) e o ganho complexo em \omega é |H(j\omega)|e^{j\angle H(j\omega)}, então a saída em regime permanente é y(t)=A\,|H(j\omega)|\cos\big(\omega t+\varphi+\angle H(j\omega)\big).
Aqui A=10, \omega=3, \varphi=40^\circ, |H(j3)|\approx 0{,}228217 e \angle H(j3)\approx -52{,}125017^\circ.