Um sistema massa mola com 10 quilos de massa e uma mola de rigidez de
fibras sobre uma superfície horizontal. Coeficiente de atrito é 0,15 . Quando sujeito uma força harmônica de frequência
constata-se que a massa vibra uma amplitude de 38 mm . Determine a amplitude da força harmônica aplicada a massa.
(Vibração forçada com amortecimento Coulomb - Exemplo 3.6 livro e slide 23 aula 04)
(Vibração forçada com amortecimento Coulomb - Exemplo 3.6 livro e slide 23 aula 04)
Passo 1
O enunciado pede: dado um sistema massa-mola sobre superfície horizontal com atrito de Coulomb, quando submetido a uma força harmônica de frequência
a massa vibra com amplitude
. Determinar a amplitude da força harmônica aplicada.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
O que se pede: encontrar a amplitude
da força harmônica aplicada (unidade: N).
Passo 2
Modelo físico e equação do movimento: para atrito de Coulomb (atrito seco) a equação do movimento é
onde
é a força de atrito máximo (módulo), e
é a função sinal da velocidade. A força de atrito máxima é dada por
Aqui
é a pulsação da excitação,
. Vou calcular esses parâmetros numéricos no passo seguinte.
Passo 3
Cálculo de pulsação e do termo inercial:
O termo
é
Logo
A força de atrito é
Passo 4
Ideia do método (harmonic balance com primeiro harmônico): na vibração forçada em regime permanente podemos aproximar a resposta por uma única harmônica (primeiro harmônico):
com amplitude
conhecida (aqui
) e fase
desconhecida. A força de atrito
é uma onda quadrada (porque
para a velocidade), e a série de Fourier dessa onda quadrada tem harmônicos ímpares. A componente fundamental (primeiro harmônico) da força de atrito tem amplitude conhecida e vale
Essa componente fundamental aparece defasada em relação à base seno/cosseno de forma que, ao aplicar o método de equilíbrio harmônico, ela entra como um termo em quadratura com a resposta senoidal (ver passo seguinte).
Passo 5
Aplicando equilíbrio harmônico: substituímos
na equação e retemos apenas o primeiro harmônico da força de atrito, que é
. Escrevendo a soma dos termos de primeiro harmônico e igualando à força excitante
obtemos, ao comparar os coeficientes de
e
, as duas equações
Essas duas equações relacionam
,
e
.
Passo 6
Eliminação da fase
: somando os quadrados das duas equações anteriores cancela-se a dependência de
(os termos mistos se cancelam), resultando em uma relação simples entre
e
:
Esta fórmula tem interpretação física: a componente reativa (de mola+inércia) contribui em fase com a excitação, enquanto a componente fundamental do atrito entra em quadratura; somando-se em quadratura obtém-se a amplitude total
.
Passo 7
Agora aplico a fórmula com os números:
primeiro calculei :
primeiro calculei
A componente do atrito (fundamental) é
Substituindo em
obtemos
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: a amplitude da força necessária é cerca de
. Note que o atrito de Coulomb aparece como um termo constante (na amplitude do primeiro harmônico) e aumenta ligeiramente a amplitude necessária em relação ao caso sem atrito. Vai dar tudo certo na prova — foque em lembrar a técnica de harmonic balance e a presença do fator
vindo da série de Fourier da onda quadrada.