Um sistema massa mola com 10 quilos de massa e uma mola de rigidez de 3900 \mathrm{~N} / \mathrm{m} fibras sobre uma superfície horizontal. Coeficiente de atrito é 0,15 . Quando sujeito uma força harmônica de frequência 1,5 \mathrm{~Hz} constata-se que a massa vibra uma amplitude de 38 mm . Determine a amplitude da força harmônica aplicada a massa.
(Vibração forçada com amortecimento Coulomb - Exemplo 3.6 livro e slide 23 aula 04)

Passo 1

O enunciado pede: dado um sistema massa-mola sobre superfície horizontal com atrito de Coulomb, quando submetido a uma força harmônica de frequência 1,5\\ \mathrm{Hz} a massa vibra com amplitude 38\\ \mathrm{mm}. Determinar a amplitude da força harmônica aplicada.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
m=10\\ \mathrm{kg},\qquad k=3900\\ \mathrm{N/m},\qquad \mu=0,15,
f=1,5\\ \mathrm{Hz},\qquad X=38\\ \mathrm{mm}=0,038\\ \mathrm{m},\qquad g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
O que se pede: encontrar a amplitude F_0 da força harmônica aplicada (unidade: N).

Passo 2

Modelo físico e equação do movimento: para atrito de Coulomb (atrito seco) a equação do movimento é
m\ddot{x}+k x + F_c\,\operatorname{sgn}(\dot{x}) = F_0\sin(\omega t),
onde F_c é a força de atrito máximo (módulo), e \operatorname{sgn}(\dot{x}) é a função sinal da velocidade. A força de atrito máxima é dada por
F_c=\mu m g.
Aqui \omega é a pulsação da excitação, \omega=2\pi f. Vou calcular esses parâmetros numéricos no passo seguinte.

Passo 3

Cálculo de pulsação e do termo inercial:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 1,5=3\pi\approx 9,4248\\ \mathrm{rad/s}.
O termo m\omega^2 é
m\omega^2=10\cdot (9,4248)^2\approx 888,26\\ \mathrm{N/m}.
Logo
k-m\omega^2 \approx 3900-888,26=3011,74\\ \mathrm{N/m}.
A força de atrito é
F_c=\mu m g=0,15\cdot 10\cdot 9,81=14,715\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Ideia do método (harmonic balance com primeiro harmônico): na vibração forçada em regime permanente podemos aproximar a resposta por uma única harmônica (primeiro harmônico):
x(t)=X\sin(\omega t-\varphi),
com amplitude X conhecida (aqui 0,038\\ \mathrm{m}) e fase \varphi desconhecida. A força de atrito F_c\,\operatorname{sgn}(\dot{x}) é uma onda quadrada (porque \operatorname{sgn}(\cos(\cdot)) para a velocidade), e a série de Fourier dessa onda quadrada tem harmônicos ímpares. A componente fundamental (primeiro harmônico) da força de atrito tem amplitude conhecida e vale
\text{amplitude da fundamental do atrito}=\frac{4F_c}{\pi}.
Essa componente fundamental aparece defasada em relação à base seno/cosseno de forma que, ao aplicar o método de equilíbrio harmônico, ela entra como um termo em quadratura com a resposta senoidal (ver passo seguinte).

Passo 5

Aplicando equilíbrio harmônico: substituímos x(t)=X\sin(\omega t-\varphi) na equação e retemos apenas o primeiro harmônico da força de atrito, que é -\dfrac{4F_c}{\pi}\cos(\omega t-\varphi). Escrevendo a soma dos termos de primeiro harmônico e igualando à força excitante F_0\sin(\omega t) obtemos, ao comparar os coeficientes de \sin(\omega t) e \cos(\omega t), as duas equações
F_0=(k-m\omega^2)X\cos\varphi-\frac{4F_c}{\pi}\sin\varphi,
0=-(k-m\omega^2)X\sin\varphi-\frac{4F_c}{\pi}\cos\varphi.
Essas duas equações relacionam F_0, X e \varphi.

Passo 6

Eliminação da fase \varphi: somando os quadrados das duas equações anteriores cancela-se a dependência de \varphi (os termos mistos se cancelam), resultando em uma relação simples entre F_0 e X:
F_0^2 = \big((k-m\omega^2)X\big)^2 + \left(\frac{4F_c}{\pi}\right)^2.
Esta fórmula tem interpretação física: a componente reativa (de mola+inércia) contribui em fase com a excitação, enquanto a componente fundamental do atrito entra em quadratura; somando-se em quadratura obtém-se a amplitude total F_0.

Passo 7

Agora aplico a fórmula com os números:
primeiro calculei (k-m\omega^2)X:
(k-m\omega^2)X \approx 3011,74\cdot 0,038 \approx 114,446\\ \mathrm{N}.
A componente do atrito (fundamental) é
\frac{4F_c}{\pi}=\frac{4\cdot 14,715}{\pi}\approx 18,745\\ \mathrm{N}.
Substituindo em
F_0=\sqrt{\big((k-m\omega^2)X\big)^2 + \left(\frac{4F_c}{\pi}\right)^2}
obtemos
F_0\approx \sqrt{(114,446)^2 + (18,745)^2}\approx 116,0\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: a amplitude da força necessária é cerca de 116\\ \mathrm{N}. Note que o atrito de Coulomb aparece como um termo constante (na amplitude do primeiro harmônico) e aumenta ligeiramente a amplitude necessária em relação ao caso sem atrito. Vai dar tudo certo na prova — foque em lembrar a técnica de harmonic balance e a presença do fator 4/\pi vindo da série de Fourier da onda quadrada.

Resposta

F_0\approx 116,0\\ \mathrm{N}

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