a) Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)= x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação (x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 V.
b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação. □ ,
c) Determine a solução geral da equação
(a) Verificar quais das funções \,z_{1}(x)=x^{2},\; z_{2}(x)=x^{3},\; z_{3}(x)=e^{-x}\,\) são soluções da equação
\[(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0.
(b) Tomando uma das soluções obtidas no item (a) como \,y_{1}(x)\,, encontrar uma segunda solução \,y_{2}(x)\, tal que \,y_{1} e \,y_{2} sejam soluções fundamentais (isto é, linearmente independentes).
(c) Obter a solução geral da equação e, em seguida, resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de x\] e as três funções candidatas \(\,z_1,z_2,z_3.]
Passo 2
Vamos testar se \,z_{1}(x)=x^{2}\, é solução. Primeiro calculo das derivadas (tudo em notação explícita):
y=x^{2},\quad y'=2x,\quad y''=2.
Substituo na equação:
(x+3)\cdot 2 + (x+2)\cdot 2x - x^{2}.
Calculo passo a passo:
(x+3)\cdot 2 = 2x+6,
(x+2)\cdot 2x = 2x^{2}+4x,
somando e subtraindo x^{2}:
2x+6 + 2x^{2}+4x - x^{2} = x^{2} + 6x + 6.
Isso não é a função zero para todo x, logo \,z_{1} NÃO é solução da equação.
Passo 3
Agora procuro se \,z_{2}(x)=x^{3}\, é solução. Derivadas:
Logo \,z_{3}(x)=e^{-x} SATISFAZ a equação para todo x. Conclusão do item (a): apenas \,z_{3} é solução.
Passo 5
Para o item (b) preciso, dado \,y_{1}(x)=e^{-x}, encontrar uma segunda solução linearmente independente \,y_{2}(x). Método escolhido: redução de ordem (porque já conheço uma solução particular não-nula de uma equação linear de 2ª ordem; essa técnica é a mais direta para construir a segunda solução). Vou explicar a ideia rapidamente: escrevemos a equação na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0,
onde P(x)=\dfrac{x+2}{x+3} e Q(x)=-\dfrac{1}{x+3} (obtidos dividindo a equação original por x+3). A fórmula prática para obter uma segunda solução, dado y_{1}, é
que vem de assumir y_{2}=v(x)\,y_{1}(x), substituir e reduzir a ordem para uma equação de primeira ordem em v'. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 6
Reescrevo a equação em forma padrão dividindo por (x+3) (assumo x\neq -3):
y'' + \frac{x+2}{x+3}\,y' - \frac{1}{x+3}\,y = 0.
Portanto
P(x)=\frac{x+2}{x+3}.
Calculo \displaystyle\int P(x)\,dx. Faço a divisão simples:
\frac{x+2}{x+3} = 1 - \frac{1}{x+3}.
Assim
\int P(x)\,dx = \int\left(1 - \frac{1}{x+3}\right)dx = x - \ln|x+3| + C.
Escolho a primitiva sem constante (qualquer constante apenas introduz um fator multiplicativo na fórmula). Então
Como trabalhamos em intervalos onde x+3>0 ou x+3<0 (podemos absorver o sinal em constantes), vou escrever simplesmente (x+3)e^{-x} (atenção: isso significa que a fórmula vale em um intervalo onde x+3 tem sinal fixo; a equação original tem singularidade em x=-3).
(ignorando a constante de integração pois uma constante multiplicativa da primitiva só acrescentaria uma combinação com y_{1}). Assim uma segunda solução encontrada é
y_{2}(x)=x+2.
Passo 9
Verifico que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes calculando o Wronskiano
Esse Wronskiano é não-nulo para x\neq -3, logo em qualquer intervalo que não contenha -3 as soluções são linearmente independentes e formam uma base de soluções.]
Passo 10
Assim a solução geral da equação (em qualquer intervalo que não contenha x=-3) é combinação linear:
y(x) = C_{1}\,e^{-x} + C_{2}\,(x+2),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 11
Agora resolvo o PVI com condições em x=1\):
\[y(1)=1,\quad y'(1)=3.