a) Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)= x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação (x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 V.
b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação. □ ,
c) Determine a solução geral da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
e obtenha a solução do PVI
\left\{\begin{array}{c} (x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0^{0} \\\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=3 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Verificar quais das funções \,z_{1}(x)=x^{2},\; z_{2}(x)=x^{3},\; z_{3}(x)=e^{-x}\,\) são soluções da equação \[(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0.
  2. (b) Tomando uma das soluções obtidas no item (a) como \,y_{1}(x)\,, encontrar uma segunda solução \,y_{2}(x)\, tal que \,y_{1} e \,y_{2} sejam soluções fundamentais (isto é, linearmente independentes).
  3. (c) Obter a solução geral da equação e, em seguida, resolver o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} (x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0,\\[4pt] y(1)=1,\; y'(1)=3. \end{cases}
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de x\] e as três funções candidatas \(\,z_1,z_2,z_3.]

Passo 2

Vamos testar se \,z_{1}(x)=x^{2}\, é solução. Primeiro calculo das derivadas (tudo em notação explícita):
y=x^{2},\quad y'=2x,\quad y''=2.
Substituo na equação:
(x+3)\cdot 2 + (x+2)\cdot 2x - x^{2}.
Calculo passo a passo:
(x+3)\cdot 2 = 2x+6,
(x+2)\cdot 2x = 2x^{2}+4x,
somando e subtraindo x^{2}:
2x+6 + 2x^{2}+4x - x^{2} = x^{2} + 6x + 6.
Isso não é a função zero para todo x, logo \,z_{1} NÃO é solução da equação.

Passo 3

Agora procuro se \,z_{2}(x)=x^{3}\, é solução. Derivadas:
y=x^{3},\quad y'=3x^{2},\quad y''=6x.
Substituo:
(x+3)\cdot 6x + (x+2)\cdot 3x^{2} - x^{3}.
Calculo termo a termo:
(x+3)\cdot 6x = 6x^{2}+18x,
(x+2)\cdot 3x^{2} = 3x^{3}+6x^{2}.
Somando e subtraindo x^{3}:
6x^{2}+18x + 3x^{3}+6x^{2} - x^{3} = 2x^{3} + 12x^{2} + 18x.
Posso fatorar:
2x^{3} + 12x^{2} + 18x = 2x(x^{2}+6x+9) = 2x(x+3)^{2},
que não é identicamente zero (exceto em pontos isolados). Portanto \,z_{2} NÃO é solução.

Passo 4

Testo \,z_{3}(x)=e^{-x}. Derivadas:
y=e^{-x},\quad y'=-e^{-x},\quad y''=e^{-x}.
Substituo na equação:
(x+3)\,e^{-x} + (x+2)(-e^{-x}) - e^{-x}.
Coloco e^{-x} em evidência:
e^{-x}\big[(x+3) - (x+2) - 1\big] = e^{-x}\big[x+3 -x -2 -1\big] = e^{-x}\cdot 0 = 0.
Logo \,z_{3}(x)=e^{-x} SATISFAZ a equação para todo x. Conclusão do item (a): apenas \,z_{3} é solução.

Passo 5

Para o item (b) preciso, dado \,y_{1}(x)=e^{-x}, encontrar uma segunda solução linearmente independente \,y_{2}(x). Método escolhido: redução de ordem (porque já conheço uma solução particular não-nula de uma equação linear de 2ª ordem; essa técnica é a mais direta para construir a segunda solução). Vou explicar a ideia rapidamente: escrevemos a equação na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0,
onde P(x)=\dfrac{x+2}{x+3} e Q(x)=-\dfrac{1}{x+3} (obtidos dividindo a equação original por x+3). A fórmula prática para obter uma segunda solução, dado y_{1}, é
y_{2} = y_{1}\int \frac{\exp\!\big(-\int P(x)\,dx\big)}{y_{1}^{2}}\,dx,
que vem de assumir y_{2}=v(x)\,y_{1}(x), substituir e reduzir a ordem para uma equação de primeira ordem em v'. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 6

Reescrevo a equação em forma padrão dividindo por (x+3) (assumo x\neq -3):
y'' + \frac{x+2}{x+3}\,y' - \frac{1}{x+3}\,y = 0.
Portanto
P(x)=\frac{x+2}{x+3}.
Calculo \displaystyle\int P(x)\,dx. Faço a divisão simples:
\frac{x+2}{x+3} = 1 - \frac{1}{x+3}.
Assim
\int P(x)\,dx = \int\left(1 - \frac{1}{x+3}\right)dx = x - \ln|x+3| + C.
Escolho a primitiva sem constante (qualquer constante apenas introduz um fator multiplicativo na fórmula). Então
-\int P(x)\,dx = -x + \ln|x+3|.
Logo
\exp\!\big(-\int P(x)\,dx\big) = e^{-x}\cdot |x+3|.
Como trabalhamos em intervalos onde x+3>0 ou x+3<0 (podemos absorver o sinal em constantes), vou escrever simplesmente (x+3)e^{-x} (atenção: isso significa que a fórmula vale em um intervalo onde x+3 tem sinal fixo; a equação original tem singularidade em x=-3).

Passo 7

Aplicando a fórmula:
y_{2} = y_{1}\int \frac{(x+3)e^{-x}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Como y_{1}=e^{-x}, temos y_{1}^{2}=e^{-2x}. Então o integrando fica
\frac{(x+3)e^{-x}}{e^{-2x}} = (x+3)e^{x}.
Portanto preciso calcular
\int (x+3)e^{x}\,dx.
Faço integração por partes / conhecendo primitiva de x e^{x}:
\int x e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} + C,
e \int 3e^{x}\,dx = 3e^{x}. Somando:
\int (x+3)e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} + 3e^{x} = (x+2)e^{x} + C.

Passo 8

Logo
y_{2} = y_{1}\cdot (x+2)e^{x} = e^{-x}\cdot (x+2)e^{x} = x+2,
(ignorando a constante de integração pois uma constante multiplicativa da primitiva só acrescentaria uma combinação com y_{1}). Assim uma segunda solução encontrada é
y_{2}(x)=x+2.

Passo 9

Verifico que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes calculando o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}' - y_{1}'y_{2}.
Substituo y_{1}=e^{-x},\; y_{1}'=-e^{-x},\; y_{2}=x+2,\; y_{2}'=1:
W = e^{-x}\cdot 1 - (-e^{-x})\cdot (x+2) = e^{-x} + e^{-x}(x+2) = e^{-x}(x+3).
Esse Wronskiano é não-nulo para x\neq -3, logo em qualquer intervalo que não contenha -3 as soluções são linearmente independentes e formam uma base de soluções.]

Passo 10

Assim a solução geral da equação (em qualquer intervalo que não contenha x=-3) é combinação linear:
y(x) = C_{1}\,e^{-x} + C_{2}\,(x+2),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 11

Agora resolvo o PVI com condições em x=1\): \[y(1)=1,\quad y'(1)=3.
A solução geral e sua derivada são
y(x) = C_{1}e^{-x} + C_{2}(x+2),
y'(x) = -C_{1}e^{-x} + C_{2}.
Avalio em x=1:
y(1)=C_{1}e^{-1} + C_{2}\cdot 3 = 1,
y'(1) = -C_{1}e^{-1} + C_{2} = 3.
Tenho o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}e^{-1} + 3C_{2} = 1,\\[4pt] - C_{1}e^{-1} + C_{2} = 3. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar C_{1}e^{-1}\]: \[4C_{2} = 4 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=1.\] Substituo em \(-C_{1}e^{-1} + 1 = 3 (segunda equação):
- C_{1}e^{-1} = 2 \quad\Rightarrow\quad C_{1} = -2 e.]

Passo 12

Portanto a solução do PVI é
y(x) = C_{1}e^{-x} + C_{2}(x+2) = -2e\,e^{-x} + 1\cdot (x+2) = -2e^{1-x} + x + 2.

Resposta

(a) Apenas \;z_{3}(x)=e^{-x}\; é solução.
(b) Uma segunda solução linearmente independente é \;y_{2}(x)=x+2\;.
(c) Solução geral: \;y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}(x+2)\;.
Solução do PVI: \;y(x)=-2e^{1-x}+x+2\;.

Exercícios relacionados