Em um sistema massa-mola sem atrito a massa é 100 g e a constante elástica é \mathbf{1}, \mathbf{6 0 0} \boldsymbol{\pi}^{\mathbf{2}} \mathrm{N} / \mathrm{m}. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em 4,00 cm e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
A) a frequência angular, a frequência e o período;
B) a constante de fase;
C) o deslocamento em função do tempo;
D) a velocidade e aceleração como função do tempo;
E) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
F) gráficos como função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: escala de múltiplos e submúltiplos do período e escala do ângulo de fase da oscilação;
G) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração quando o deslocamento é máximo;
H) o módulo do deslocamento e o módulo da aceleração quando a velocidade é máxima.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
  • Massa: m=100\\ \text{g} = 0,100\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=1600\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}. (Estou pegando este valor do enunciado.)
  • Deslocamento inicial (alongamento) antes de soltar: x(0)=+4,00\\ \text{cm}=+0,0400\\ \mathrm{m}.
  • A massa é abandonada (solta) a partir desse deslocamento, isto é, a velocidade inicial é nula: v(0)=0.
O enunciado pede:
A) a frequência angular, a frequência e o período;
B) a constante de fase;
C) o deslocamento em função do tempo;
D) a velocidade e a aceleração como função do tempo;
E) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
F) os gráficos (descrição de como traçar) do deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo, com escala horizontal dupla: múltiplos/submúltiplos do período e ângulo de fase;
G) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração quando o deslocamento é máximo;
H) o módulo do deslocamento e o módulo da aceleração quando a velocidade é máxima.

Passo 2

Modelo matemático básico e fórmula para a frequência angular.
Explicação do modelo (rápida e necessária): em um sistema massa-mola sem atrito a equação do movimento é a equação diferencial linear de segunda ordem
m\ddot{x}+kx=0,
onde:
  • x(t) é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio;
  • m é a massa;
  • k é a constante elástica;
  • \ddot{x} é a segunda derivada de x em relação ao tempo (aceleração).
Para essa equação, a solução é oscilatória simples com frequência angular dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), que mede quantos radianos a fase do oscilador percorre por segundo.
Agora aplicamos os valores fornecidos:
\omega=\sqrt{\frac{1600\pi^{2}}{0,100}}=\sqrt{16000\pi^{2}}.
Podemos simplificar: \sqrt{16000}=40\sqrt{10}. Logo
\omega=40\sqrt{10}\,\pi.
Se quisermos um valor numérico aproximado,
\sqrt{10}\approx3,16228\quad\Rightarrow\quad \omega\approx 40\cdot3,16228\cdot\pi\approx 397,887\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Frequência (ciclos por segundo) e período.
Relação entre frequência, período e \omega:
f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.
Usando \omega=40\sqrt{10}\pi,
f=\frac{40\sqrt{10}\pi}{2\pi}=20\sqrt{10}.
Numericamente,
f\approx 20\cdot3,16228\approx 63,246\\ \mathrm{Hz}.
O período é
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\sqrt{10}}\approx 0,015811\\ \mathrm{s}.
Interpretação curta: a massa oscila muito rápido — cerca de 63,25 oscilações por segundo; cada oscilação dura cerca de 0,0158 s.

Passo 4

Forma geral da solução e determinação da constante de fase.
Forma geral da solução para SHM (movimento harmônico simples):
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento em módulo);
  • \varphi é a constante de fase (ângulo em radianos que ajusta onde começa a oscilação no tempo t=0);
  • \omega é a frequência angular já encontrada.
Outra forma equivalente é
x(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
com A=\sqrt{C^{2}+D^{2}} e \varphi=\operatorname{atan2}(-D,C) (mas vamos usar a forma com amplitude e fase porque é mais direta para usar as condições iniciais).
Condições iniciais dadas:
x(0)=0,0400\\ \mathrm{m},\qquad v(0)=\dot{x}(0)=0.
Substituindo t=0 em x(t)=A\cos(\varphi)
A\cos(\varphi)=0,0400.
A velocidade é
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
logo em t=0
v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=0.
Para que -A\omega\sin(\varphi)=0 com A\neq 0 temos \sin(\varphi)=0, o que implica \varphi=0 ou \varphi=\pi (mais genericamente \varphi=n\pi). Mas como A\cos(\varphi)=0,0400>0, devemos ter \cos(\varphi)>0, o que elimina \varphi=\pi. Portanto
\varphi=0.
Com \varphi=0, fica A\cos(0)=A=0,0400\\ \mathrm{m}. Assim:
A=0,0400\\ \mathrm{m},\qquad \varphi=0.
Comentário intuitivo: soltar a massa a partir do máximo alongamento significa que no instante t=0 ela está no ponto de amplitude com velocidade zero — isso corresponde a um cosseno puro com fase zero.

Passo 5

Deslocamento como função do tempo.
Usando A=0,0400\\ \mathrm{m}, \omega e \varphi=0, a função do deslocamento é
x(t)=0,0400\cos\bigl(\omega t\bigr)=0,0400\cos\bigl(40\sqrt{10}\,\pi\,t\bigr)\quad(\mathrm{m}).
Numericamente, com \omega\approx 397,887\\ \mathrm{rad/s},
x(t)\approx 0,0400\cos\bigl(397,887\,t\bigr)\quad(\mathrm{m}).

Passo 6

Velocidade e aceleração como funções do tempo (derivação e interpretação).
Velocidade: derivando x(t) em relação a t (regra da cadeia):
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Com A=0,0400 e \varphi=0,
v(t)=-0,0400\,\omega\sin(\omega t) \approx -0,0400\cdot397,887\sin(397,887\,t).
Podemos calcular o coeficiente:
A\omega=0,0400\times 397,887\approx 15,9155\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
v(t)\approx -15,9155\sin(397,887\,t)\quad(\mathrm{m/s}).
Aceleração: derivando novamente (ou usando a(t)=-\omega^{2}x(t)):
a(t)=\ddot{x}(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Com os valores,
\omega^{2}=\frac{k}{m}=16000\pi^{2}\approx 157913,67\\ \mathrm{s^{-2}}.
Então
A\omega^{2}=0,0400\times157913,67\approx 6316,547\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto
a(t)\approx -6316,547\cos(397,887\,t)\quad(\mathrm{m/s^{2}}).
Observação: a aceleração está sempre proporcional (com sinal contrário) ao deslocamento: a(t)=-\omega^{2}x(t).

Passo 7

Velocidade máxima e aceleração máxima (valores absolutos máximos).
  • A velocidade máxima em módulo ocorre quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1, então
v_{\max}=A\omega.
Usando os números:
v_{\max}=0,0400\times 397,887\approx 15,9155\\ \mathrm{m/s}.
  • A aceleração máxima em módulo ocorre quando |\cos(\omega t+\varphi)|=1, então
a_{\max}=A\omega^{2}.
Usando os números:
a_{\max}=0,0400\times 157913,67\approx 6316,547\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: a aceleração máxima é grande porque a frequência angular \omega é grande — aceleração escala como \omega^{2}.

Passo 8

Como traçar os gráficos de x(t), v(t) e a(t) com duas escalas horizontais (múltiplos do período e ângulo de fase).
Regras práticas para o eixo horizontal duplo:
  • A relação entre tempo t, período T e fase \varphi=\omega t é
\varphi=\omega t=2\pi\frac{t}{T}.
Portanto, para cada marcação em tempo dada em frações de T, há uma marcação correspondente em fase em radianos (ou graus) igual a 2\pi vezes essa fração.
Sugestão de marcações úteis para plotar (tomando T\approx0,015811\\ \mathrm{s} e \omega\approx397,887\\ \mathrm{rad/s}):
  • t=0: fase \varphi=0.
  • t=\tfrac{T}{8}: fase \varphi=\tfrac{\pi}{4}.
  • t=\tfrac{T}{4}: fase \varphi=\tfrac{\pi}{2}.
  • t=\tfrac{3T}{8}: fase \varphi=\tfrac{3\pi}{4}.
  • t=\tfrac{T}{2}: fase \varphi=\pi.
  • t=\tfrac{5T}{8}: fase \varphi=\tfrac{5\pi}{4}.
  • t=\tfrac{3T}{4}: fase \varphi=\tfrac{3\pi}{2}.
  • t=\tfrac{7T}{8}: fase \varphi=\tfrac{7\pi}{4}.
  • t=T: fase \varphi=2\pi.
Valores numéricos (aproximados) dessas frações de T:
T\approx 0,015811\\ \mathrm{s},\qquad \frac{T}{4}\approx 0,003953\\ \mathrm{s},\qquad \frac{T}{8}\approx 0,001977\\ \mathrm{s}.
Pontos importantes para os três gráficos (usando \varphi=0):
  • Para x(t)=A\cos(\omega t):
    • t=0: x=A=0,0400.
    • t=\tfrac{T}{4} ( \varphi=\tfrac{\pi}{2}): x=0.
    • t=\tfrac{T}{2} ( \varphi=\pi): x=-A.
    • t=\tfrac{3T}{4} ( \varphi=\tfrac{3\pi}{2}): x=0.
    • t=T ( \varphi=2\pi): x=A.
  • Para v(t)=-A\omega\sin(\omega t):
    • t=0: v=0.
    • t=\tfrac{T}{8} ( \varphi=\tfrac{\pi}{4}): v=-A\omega\sin(\tfrac{\pi}{4})\approx -\tfrac{A\omega}{\sqrt{2}}.
    • t=\tfrac{T}{4} ( \varphi=\tfrac{\pi}{2}): v=-A\omega (velocidade negativa máxima nessa escolha de fase).
    • etc.
  • Para a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t):
    • t=0: a=-A\omega^{2}=-a_{\max} (note o sinal).
    • t=\tfrac{T}{4}: a=0.
    • t=\tfrac{T}{2}: a=+A\omega^{2}=+a_{\max}.
Como desenhar: no eixo horizontal inferior marque 0,\\ \tfrac{T}{8},\\ \tfrac{T}{4},\\ \dots,\\ T (em segundos). No eixo horizontal superior coloque as fases correspondentes 0,\\ \tfrac{\pi}{4},\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \dots,\\\ 2\pi. No eixo vertical use unidades: x em metros (amplitude \pm0,0400\\ \mathrm{m}), v em \mathrm{m/s} (faixa \pm 15,9155\\ \mathrm{m/s}), a em \mathrm{m/s^{2}} (faixa \pm6316,547\\ \mathrm{m/s^{2}}). Desenhe as curvas cosseno (para x), seno negativo (para v) e cosseno negativo (para a), mantendo a relação de fase: v defasada de -\tfrac{\pi}{2} em relação a x, e a em oposição \pi a x.

Passo 9

Valores pedindo módulos específicos (itens G e H).
G) Módulo da velocidade e módulo da aceleração quando o deslocamento é máximo.
Quando o deslocamento é máximo em módulo, |x|=A. Nesses instantes a velocidade é zero ( v=0), e a aceleração tem módulo A\omega^{2}=a_{\max}. Portanto:
|v|=0,\qquad |a|=A\omega^{2}\approx 6316,547\\ \mathrm{m/s^{2}}.
H) Módulo do deslocamento e módulo da aceleração quando a velocidade é máxima.
A velocidade máxima em módulo ocorre quando x=0. Então o deslocamento em módulo é 0 e a aceleração, sendo a=-\omega^{2}x, é zero. Portanto:
|x|=0,\qquad |a|=0.

Resposta

A) \displaystyle \omega=40\sqrt{10}\,\pi\approx 397,887\\ \mathrm{rad/s},\quad f=20\sqrt{10}\approx 63,246\\ \mathrm{Hz},\quad T=\frac{1}{20\sqrt{10}}\approx 0,015811\\ \mathrm{s}.
B) \displaystyle \varphi=0.
C) \displaystyle x(t)=0,0400\cos\bigl(40\sqrt{10}\,\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox. }x(t)\approx 0,0400\cos(397,887\,t)).
D) \displaystyle v(t)=-0,0400\,\omega\sin(\omega t) \approx -15,9155\sin(397,887\,t)\\ \mathrm{m/s},\quad a(t)=-0,0400\,\omega^{2}\cos(\omega t)\approx -6316,547\cos(397,887\,t)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
E) \displaystyle v_{\max}=A\omega\approx 15,9155\\ \mathrm{m/s},\quad a_{\max}=A\omega^{2}\approx 6316,547\\ \mathrm{m/s^{2}}.
F) Gráficos: trace x(t)=0,0400\cos(\omega t), v(t)=-0,0400\omega\sin(\omega t) e a(t)=-0,0400\omega^{2}\cos(\omega t). No eixo horizontal inferior marque t em frações de T (por ex. 0,\\ T/8,\\ T/4,\\\ 3T/8,\\ T/2,\\ \dots,\\ T) e no eixo horizontal superior marque a fase correspondente \varphi=\omega t=2\pi(t/T) (por ex. 0,\\ \pi/4,\\ \pi/2,\\\ 3\pi/4,\\ \pi,\\ \dots,\\\ 2\pi). Eixos verticais: x em \pm0,0400\\ \mathrm{m}, v em \pm15,9155\\ \mathrm{m/s}, a em \pm6316,547\\ \mathrm{m/s^{2}}.
G) Quando x é máximo: |v|=0,\quad |a|=A\omega^{2}\approx 6316,547\\ \mathrm{m/s^{2}}.
H) Quando v é máximo: |x|=0,\quad |a|=0.

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