Em um sistema massa-mola sem atrito a massa é 100 g e a constante elástica é
. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em 4,00 cm e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
A) a frequência angular, a frequência e o período;
B) a constante de fase;
C) o deslocamento em função do tempo;
D) a velocidade e aceleração como função do tempo;
E) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
F) gráficos como função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: escala de múltiplos e submúltiplos do período e escala do ângulo de fase da oscilação;
G) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração quando o deslocamento é máximo;
H) o módulo do deslocamento e o módulo da aceleração quando a velocidade é máxima.
A) a frequência angular, a frequência e o período;
B) a constante de fase;
C) o deslocamento em função do tempo;
D) a velocidade e aceleração como função do tempo;
E) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
F) gráficos como função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: escala de múltiplos e submúltiplos do período e escala do ângulo de fase da oscilação;
G) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração quando o deslocamento é máximo;
H) o módulo do deslocamento e o módulo da aceleração quando a velocidade é máxima.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
- Massa:
. - Constante elástica da mola:
. (Estou pegando este valor do enunciado.) - Deslocamento inicial (alongamento) antes de soltar:
. - A massa é abandonada (solta) a partir desse deslocamento, isto é, a velocidade inicial é nula:
.
O enunciado pede:
A) a frequência angular, a frequência e o período;
B) a constante de fase;
C) o deslocamento em função do tempo;
D) a velocidade e a aceleração como função do tempo;
E) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
F) os gráficos (descrição de como traçar) do deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo, com escala horizontal dupla: múltiplos/submúltiplos do período e ângulo de fase;
G) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração quando o deslocamento é máximo;
H) o módulo do deslocamento e o módulo da aceleração quando a velocidade é máxima.
A) a frequência angular, a frequência e o período;
B) a constante de fase;
C) o deslocamento em função do tempo;
D) a velocidade e a aceleração como função do tempo;
E) a velocidade máxima e a aceleração máxima;
F) os gráficos (descrição de como traçar) do deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo, com escala horizontal dupla: múltiplos/submúltiplos do período e ângulo de fase;
G) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração quando o deslocamento é máximo;
H) o módulo do deslocamento e o módulo da aceleração quando a velocidade é máxima.
Passo 2
Modelo matemático básico e fórmula para a frequência angular.
Explicação do modelo (rápida e necessária): em um sistema massa-mola sem atrito a equação do movimento é a equação diferencial linear de segunda ordem
onde:
-
é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio; -
é a massa; -
é a constante elástica; -
é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração).
Para essa equação, a solução é oscilatória simples com frequência angular dada por
Aqui
é a frequência angular (em
), que mede quantos radianos a fase do oscilador percorre por segundo.
Agora aplicamos os valores fornecidos:
Podemos simplificar:
. Logo
Se quisermos um valor numérico aproximado,
Passo 3
Frequência (ciclos por segundo) e período.
Relação entre frequência, período e
:
Usando
,
Numericamente,
O período é
Interpretação curta: a massa oscila muito rápido — cerca de
oscilações por segundo; cada oscilação dura cerca de
s.
Passo 4
Forma geral da solução e determinação da constante de fase.
Forma geral da solução para SHM (movimento harmônico simples):
onde:
-
é a amplitude (máximo deslocamento em módulo); -
é a constante de fase (ângulo em radianos que ajusta onde começa a oscilação no tempo ); -
é a frequência angular já encontrada.
Outra forma equivalente é
com
e
(mas vamos usar a forma com amplitude e fase porque é mais direta para usar as condições iniciais).
Condições iniciais dadas:
Substituindo
em
dá
A velocidade é
logo em
Para que
com
temos
, o que implica
ou
(mais genericamente
). Mas como
, devemos ter
, o que elimina
. Portanto
Com
, fica
. Assim:
Comentário intuitivo: soltar a massa a partir do máximo alongamento significa que no instante
ela está no ponto de amplitude com velocidade zero — isso corresponde a um cosseno puro com fase zero.
Passo 5
Deslocamento como função do tempo.
Usando
,
e
, a função do deslocamento é
Numericamente, com
,
Passo 6
Velocidade e aceleração como funções do tempo (derivação e interpretação).
Velocidade: derivando
em relação a
(regra da cadeia):
Com
e
,
Podemos calcular o coeficiente:
Portanto
Aceleração: derivando novamente (ou usando
):
Com os valores,
Então
Portanto
Observação: a aceleração está sempre proporcional (com sinal contrário) ao deslocamento:
.
Passo 7
Velocidade máxima e aceleração máxima (valores absolutos máximos).
- A velocidade máxima em módulo ocorre quando
, então
Usando os números:
- A aceleração máxima em módulo ocorre quando
, então
Usando os números:
Interpretação: a aceleração máxima é grande porque a frequência angular
é grande — aceleração escala como
.
Passo 8
Como traçar os gráficos de
,
e
com duas escalas horizontais (múltiplos do período e ângulo de fase).
Regras práticas para o eixo horizontal duplo:
- A relação entre tempo
, período e fase é
Portanto, para cada marcação em tempo dada em frações de
, há uma marcação correspondente em fase em radianos (ou graus) igual a
vezes essa fração.
Sugestão de marcações úteis para plotar (tomando
e
):
-
: fase . -
: fase . -
: fase . -
: fase . -
: fase . -
: fase . -
: fase . -
: fase . -
: fase .
Valores numéricos (aproximados) dessas frações de
:
Pontos importantes para os três gráficos (usando
):
-
Para
: -
: . -
( ): . -
( ): . -
( ): . -
( ): .
-
-
Para
: -
: . -
( ): . -
( ): (velocidade negativa máxima nessa escolha de fase). - etc.
-
-
Para
: -
: (note o sinal). -
: . -
: .
-
Como desenhar: no eixo horizontal inferior marque
(em segundos). No eixo horizontal superior coloque as fases correspondentes
. No eixo vertical use unidades:
em metros (amplitude
),
em
(faixa
),
em
(faixa
). Desenhe as curvas cosseno (para
), seno negativo (para
) e cosseno negativo (para
), mantendo a relação de fase:
defasada de
em relação a
, e
em oposição
a
.
Passo 9
Valores pedindo módulos específicos (itens G e H).
G) Módulo da velocidade e módulo da aceleração quando o deslocamento é máximo.
Quando o deslocamento é máximo em módulo,
. Nesses instantes a velocidade é zero (
), e a aceleração tem módulo
. Portanto:
H) Módulo do deslocamento e módulo da aceleração quando a velocidade é máxima.
A velocidade máxima em módulo ocorre quando
. Então o deslocamento em módulo é
e a aceleração, sendo
, é zero. Portanto:
Resposta
A)
B)
C)
D)
E)
F) Gráficos: trace ,
e
. No eixo horizontal inferior marque
em frações de
(por ex.
) e no eixo horizontal superior marque a fase correspondente
(por ex.
). Eixos verticais:
em
,
em
,
em
.
G) Quando é máximo:
H) Quando é máximo:
B)
C)
D)
E)
F) Gráficos: trace
G) Quando
H) Quando