Para um oscilador harmônico simples (OHS) a frequência angular é 2,00 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e o deslocamento máximo é 5,00 \mathrm{~cm}. Sabe-se que no instante zero a partícula apresenta deslocamento igual à metade do deslocamento máximo e que neste instante o deslocamento de extensão da mola está aumentando. Para uma função do deslocamento com o tempo do tipo seno determinar a fase inicial e escrever a referida função do deslocamento com o tempo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os números diretamente do enunciado):
  • Dados:
    • \omega = 2,00\\ \mathrm{rad/s}.
    • Deslocamento máximo (amplitude) A = 5,00\\ \mathrm{cm}.
    • No instante t=0 o deslocamento é metade da amplitude: x(0)=\dfrac{A}{2}.
    • No instante t=0 o deslocamento está aumentando, isto é, a velocidade instantânea em t=0 é positiva: v(0)>0.
  • Pedido:
    • Determinar a fase inicial \varphi assumindo uma representação do deslocamento do tipo seno.
    • Escrever a função do deslocamento x(t) com o tempo (usando os valores numéricos dados).

Passo 2

Forma geral e significado das grandezas.
Para um oscilador harmônico simples, se pedem uma função do tipo seno usamos a forma
x(t)=A\sin\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo.
  • A é a amplitude (deslocamento máximo).
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}).
  • \varphi é a fase inicial (o ângulo de fase no instante t=0).
    A tarefa é achar \varphi a partir das condições em t=0.

Passo 3

Condição de deslocamento no instante t=0.
Aplicando t=0 em x(t) obtemos
x(0)=A\sin(\varphi).
Pelo enunciado x(0)=\dfrac{A}{2}. Substituindo:
A\sin(\varphi)=\frac{A}{2}.
Como A\neq 0 podemos dividir por A e obter
\sin(\varphi)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Soluções básicas para \sin(\varphi)=\tfrac{1}{2}.
Conhecendo a trigonometria básica, os ângulos no intervalo [0,2\pi) que satisfazem \sin(\varphi)=\tfrac{1}{2} são
\varphi=\frac{\pi}{6}\quad\text{ou}\quad \varphi=\frac{5\pi}{6}.
Em geral as soluções são \varphi=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi ou \varphi=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, com k\in\mathbb{Z}.
Vou agora usar a condição sobre o aumento do deslocamento para escolher entre essas soluções.

Passo 5

Condição de aumento do deslocamento: sinal da velocidade em t=0.
A velocidade é a derivada temporal de x(t). Derivando:
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Em t=0 temos
v(0)=A\omega\cos(\varphi).
Sabemos que A>0 e \omega>0, portanto o sinal de v(0) é o sinal de \cos(\varphi). Como o enunciado diz que o deslocamento está aumentando em t=0, temos v(0)>0, então
\cos(\varphi)>0.

Passo 6

Escolhendo a solução correta com base em \cos(\varphi)>0.
Das duas soluções candidatas:
  • Para \varphi=\dfrac{\pi}{6} temos \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}>0.
  • Para \varphi=\dfrac{5\pi}{6} temos \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}<0.
Como precisamos de \cos(\varphi)>0, a solução correta (no intervalo principal) é
\varphi=\frac{\pi}{6}
(ou, em geral, \varphi=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, mas normalmente escolhe-se a menor fase positiva \tfrac{\pi}{6}).

Passo 7

Escrever a função x(t) com os valores numéricos.
Substituindo A=5,00\\ \mathrm{cm}, \omega=2,00\\ \mathrm{rad/s} e \varphi=\dfrac{\pi}{6} na forma x(t)=A\sin(\omega t+\varphi), obtemos
x(t)=5,00\\ \mathrm{cm}\;\sin\!\Bigl(2,00\,t+\frac{\pi}{6}\Bigr).
Se quiser trabalhar em metros, basta usar A=0,0500\\ \mathrm{m} e escrever x(t)=0,0500\\ \mathrm{m}\,\sin\!\bigl(2,00\,t+\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Resposta

\varphi=\dfrac{\pi}{6}
x(t)=5,00\\ \mathrm{cm}\;\sin\!\Bigl(2,00\,t+\frac{\pi}{6}\Bigr)

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