Para um oscilador harmônico simples (OHS) a frequência angular é
e o deslocamento máximo é
. Sabe-se que no instante zero a partícula apresenta deslocamento igual à metade do deslocamento máximo e que neste instante o deslocamento de extensão da mola está aumentando. Para uma função do deslocamento com o tempo do tipo seno determinar a fase inicial e escrever a referida função do deslocamento com o tempo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os números diretamente do enunciado):
-
Dados:
-
. - Deslocamento máximo (amplitude)
. - No instante
o deslocamento é metade da amplitude: . - No instante
o deslocamento está aumentando, isto é, a velocidade instantânea em é positiva: .
-
-
Pedido:
- Determinar a fase inicial
assumindo uma representação do deslocamento do tipo seno. - Escrever a função do deslocamento
com o tempo (usando os valores numéricos dados).
- Determinar a fase inicial
Passo 2
Forma geral e significado das grandezas.
Para um oscilador harmônico simples, se pedem uma função do tipo seno usamos a forma
Explicando cada símbolo:
-
é o deslocamento em função do tempo. -
é a amplitude (deslocamento máximo). -
é a frequência angular (em ). -
é a fase inicial (o ângulo de fase no instante ).
A tarefa é achara partir das condições em .
Passo 3
Condição de deslocamento no instante
.
Aplicando
em
obtemos
Pelo enunciado
. Substituindo:
Como
podemos dividir por
e obter
Passo 4
Soluções básicas para
.
Conhecendo a trigonometria básica, os ângulos no intervalo
que satisfazem
são
Em geral as soluções são
ou
, com
.
Vou agora usar a condição sobre o aumento do deslocamento para escolher entre essas soluções.
Passo 5
Condição de aumento do deslocamento: sinal da velocidade em
.
A velocidade é a derivada temporal de
. Derivando:
Em
temos
Sabemos que
e
, portanto o sinal de
é o sinal de
. Como o enunciado diz que o deslocamento está aumentando em
, temos
, então
Passo 6
Escolhendo a solução correta com base em
.
Das duas soluções candidatas:
- Para
temos . - Para
temos .
Como precisamos de
, a solução correta (no intervalo principal) é
(ou, em geral,
, mas normalmente escolhe-se a menor fase positiva
).
Passo 7
Escrever a função
com os valores numéricos.
Substituindo
,
e
na forma
, obtemos
Se quiser trabalhar em metros, basta usar
e escrever
.