1. Um sistema de modulação FM utiliza uma frequência de portadora de 100 MHz , com amplitude de 1 Vp . A frequência máxima do sinal modulante é limitada em 15 kHz através de um filtro passa baixa. Utilizando um modulador com coeficiente de modulação \mathrm{K}_{\mathrm{t}}=10 \mathrm{kHz} / \mathrm{V}, qual deve ser a máxima amplitude do sinal modulante para que o indice de modulação (β) não ultrapasse o valor 5 ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Frequência da portadora: 100\\ \mathrm{MHz} (irrelevante para o índice de modulação neste problema, mas está no enunciado).
  • Amplitude da portadora: 1\\ \mathrm{V_{p}} (também irrelevante para o índice de modulação FM).
  • Frequência máxima do sinal modulante: 15\\ \mathrm{kHz}.
  • Coeficiente/sensibilidade do modulador: K_{t}=10\\ \mathrm{kHz}/\mathrm{V}.
  • Limite imposto ao índice de modulação: \beta_{\max}=5.
O que se pede: determinar a máxima amplitude do sinal modulante A_m (em volts) de forma que o índice de modulação \beta não ultrapasse 5.

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar (com calma e sem pânico):
  • Em modulação FM, o índice de modulação \beta mede a razão entre a desvio de frequência máximo (desvio de pico) \Delta f e a frequência máxima do sinal modulante f_m. A definição é:
\beta = \frac{\Delta f}{f_m}.
Aqui:
  • \beta é adimensional (número puro).
  • \Delta f é a máxima diferença entre a frequência instantânea da portadora e a frequência central (em Hz).
  • f_m é a frequência máxima presente no sinal modulante (em Hz).
  • O coeficiente K_t dado pelo enunciado expressa a sensibilidade em frequência do modulador: ele diz quantos hertz a portadora se desloca por cada volt de amplitude do modulante. Em símbolos:
\Delta f = K_{t}\,A_m,
onde:
  • K_t tem unidades de \mathrm{Hz}/\mathrm{V} (aqui foi dado em \mathrm{kHz}/\mathrm{V}),
  • A_m é a amplitude de pico do sinal modulante (em V).

Passo 3

Vamos combinar as duas fórmulas para expressar A_m em função de \beta, f_m e K_t.
Partindo de \beta = \dfrac{\Delta f}{f_m} e substituindo \Delta f = K_t A_m, obtemos:
\beta = \frac{K_t A_m}{f_m}.
Isolando A_m:
A_m = \frac{\beta\, f_m}{K_t}.

Passo 4

Agora fazemos a conta numérica, cuidando das unidades (convertemos kHz para Hz):
  • Converter K_t: K_t = 10\\ \mathrm{kHz}/\mathrm{V} = 10{,}000\\ \mathrm{Hz}/\mathrm{V}.
  • Converter f_m: f_m = 15\\ \mathrm{kHz} = 15{,}000\\ \mathrm{Hz}.
  • Usar \beta_{\max}=5.
Substituindo na fórmula:
A_m = \frac{5 \cdot 15{,}000}{10{,}000} = \frac{75{,}000}{10{,}000} = 7{,}5.
A unidade resultante é volts, pois \dfrac{\mathrm{Hz}}{\mathrm{Hz}/\mathrm{V}}=\mathrm{V}. Então
A_m = 7{,}5\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Interpretação prática e observações (rápido e motivador):
  • Para que o índice de modulação não ultrapasse 5, a amplitude do sinal modulante deve ser, no máximo, 7{,}5\\ \mathrm{V}. Se na prova pedirem “não ultrapassar”, significa A_m \le 7{,}5\\ \mathrm{V}.
  • A amplitude da portadora 1\\ \mathrm{V_p} e a frequência da portadora 100\\ \mathrm{MHz} não entram no cálculo do índice \beta nesta fórmula; só interessam \Delta f, f_m e K_t.
  • Boa notícia: a conta é direta — agora tu pode aplicar o mesmo raciocínio para outros valores de K_t, f_m ou \beta.

Resposta

A_m = 7{,}5\\ \mathrm{V}

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