- Um sistema de modulação FM utiliza uma frequência de portadora de 100 MHz , com amplitude de 1 Vp . A frequência máxima do sinal modulante é limitada em 15 kHz através de um filtro passa baixa. Utilizando um modulador com coeficiente de modulação
, qual deve ser a máxima amplitude do sinal modulante para que o indice de modulação (β) não ultrapasse o valor 5 ?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Frequência da portadora:
(irrelevante para o índice de modulação neste problema, mas está no enunciado). - Amplitude da portadora:
(também irrelevante para o índice de modulação FM). - Frequência máxima do sinal modulante:
. - Coeficiente/sensibilidade do modulador:
. - Limite imposto ao índice de modulação:
.
O que se pede: determinar a máxima amplitude do sinal modulante
(em volts) de forma que o índice de modulação
não ultrapasse
.
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (com calma e sem pânico):
- Em modulação FM, o índice de modulação
mede a razão entre a desvio de frequência máximo (desvio de pico) e a frequência máxima do sinal modulante . A definição é:
Aqui:
-
é adimensional (número puro). -
é a máxima diferença entre a frequência instantânea da portadora e a frequência central (em Hz). -
é a frequência máxima presente no sinal modulante (em Hz). -
O coeficiente
dado pelo enunciado expressa a sensibilidade em frequência do modulador: ele diz quantos hertz a portadora se desloca por cada volt de amplitude do modulante. Em símbolos:
onde:
-
tem unidades de (aqui foi dado em ), -
é a amplitude de pico do sinal modulante (em V).
Passo 3
Vamos combinar as duas fórmulas para expressar
em função de
,
e
.
Partindo de
e substituindo
, obtemos:
Isolando
:
Passo 4
Agora fazemos a conta numérica, cuidando das unidades (convertemos kHz para Hz):
- Converter
: . - Converter
: . - Usar
.
Substituindo na fórmula:
A unidade resultante é volts, pois
. Então
Passo 5
Interpretação prática e observações (rápido e motivador):
- Para que o índice de modulação não ultrapasse
, a amplitude do sinal modulante deve ser, no máximo, . Se na prova pedirem “não ultrapassar”, significa . - A amplitude da portadora
e a frequência da portadora não entram no cálculo do índice nesta fórmula; só interessam , e . - Boa notícia: a conta é direta — agora tu pode aplicar o mesmo raciocínio para outros valores de
, ou .