1. Um sinal de 1 MHz de amplitude 3 V é modulado em frequência por um sinal de 500 Hz de amplitude 1 V . O desvio de frequência é de 1 kHz . Se o nivel do sinal modulante passar a ser de 5 V e a frequência de 2 kHz , escreva a expressão do novo sinal FM. Determine a largura de banda, BW, do sinal modulado nas duas situações descritas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo claramente):
  • Portadora:
    • frequência da portadora: \,f_c = 1\\ \mathrm{MHz}.
    • amplitude da portadora: \,A_c = 3\\ \mathrm{V}.
  • Modulação (situação inicial):
    • sinal modulante 1: amplitude \,A_{m1} = 1\\ \mathrm{V} e frequência \,f_{m1} = 500\\ \mathrm{Hz}.
    • desvio de frequência informado: \Delta f_1 = 1\\ \mathrm{kHz}.
  • Modulação (situação nova, a ser escrita):
    • sinal modulante 2: amplitude \,A_{m2} = 5\\ \mathrm{V} e frequência \,f_{m2} = 2\\ \mathrm{kHz}.
  • O que é pedido:
    1. Escrever a expressão do novo sinal FM (situação com A_{m2} e f_{m2}).
    2. Determinar a largura de banda BW do sinal modulado nas duas situações (inicial e nova).

Passo 2

Breve explicação do modelo de FM que vamos usar (passo-a-passo e sem pular etapas).
  • Em modulação em frequência (FM) a frequência instantânea do sinal é alterada pelo sinal modulante m(t). Escrevendo a sensibilidade em frequência por \,k_f (com unidades Hz por volt), a frequência instantânea é
f_i(t)=f_c + k_f\,m(t).
  • A fase instantânea \varphi(t) é a integral da frequência instantânea multiplicada por 2\pi:
\varphi(t)=2\pi\int f_i(t)\,dt = 2\pi f_c t + 2\pi k_f\int m(t)\,dt.
  • Para o caso de modulante senoidal de amplitude \,A_m e frequência \,f_m, ou seja m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t), a integral é
\int m(t)\,dt = \int A_m\cos(2\pi f_m t)\,dt = \frac{A_m}{2\pi f_m}\sin(2\pi f_m t).
  • Substituindo na fase:
\varphi(t)=2\pi f_c t + 2\pi k_f\cdot\frac{A_m}{2\pi f_m}\sin(2\pi f_m t) = 2\pi f_c t + \beta\sin(2\pi f_m t),
onde definimos o índice de modulação em frequência (índice de FM)
\beta=\frac{k_f A_m}{f_m}=\frac{\Delta f}{f_m},
pois \Delta f = k_f A_m é o desvio de frequência máximo.
  • Portanto, o sinal FM (para modulante senoidal) é
s(t)=A_c\cos\!\bigl(2\pi f_c t + \beta\sin(2\pi f_m t)\bigr).
Essa é a forma que vamos usar para escrever as expressões numéricas.

Passo 3

Determinar a constante k_f (sensibilidade em Hz/V) usando os dados iniciais.
  • Do enunciado foi dado \Delta f_1 = 1\\ \mathrm{kHz} quando A_{m1}=1\\ \mathrm{V}. Assim
k_f=\frac{\Delta f_1}{A_{m1}}=\frac{1000\\ \mathrm{Hz}}{1\\ \mathrm{V}}=1000\\ \frac{\mathrm{Hz}}{\mathrm{V}}.
  • Interpretação: cada volt no modulante muda a frequência por 1000\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Escrever a expressão do sinal FM na situação inicial (para referência) e calcular o índice \beta_1.
  • Calculando o desvio (confirmação): \Delta f_1 = k_f A_{m1} = 1000\cdot 1 = 1000\\ \mathrm{Hz} (coincide com o dado).
  • Índice de modulação inicial:
\beta_1=\frac{\Delta f_1}{f_{m1}}=\frac{1000}{500}=2.
  • Então a expressão do sinal modulado inicialmente é (colocando números):
s_1(t)=3\cos\!\bigl(2\pi\cdot 10^{6} t + 2\sin(2\pi\cdot 500\,t)\bigr).
Aqui cada variável é:
  • 3 é a amplitude (\mathrm{V}),
  • 10^{6} é f_c em \mathrm{Hz},
  • 500 é f_{m1} em \mathrm{Hz},
  • e 2 é o índice \beta_1.

Passo 5

Calcular a nova situação (o que pediram): novos \Delta f_2, \beta_2 e escrever s_2(t).
  • Novo desvio de frequência:
\Delta f_2 = k_f A_{m2} = 1000\\ \frac{\mathrm{Hz}}{\mathrm{V}}\cdot 5\\ \mathrm{V} = 5000\\ \mathrm{Hz} = 5\\ \mathrm{kHz}.
  • Índice de modulação novo:
\beta_2=\frac{\Delta f_2}{f_{m2}}=\frac{5000}{2000}=2{,}5.
(repare que usei vírgula decimal conforme pedido).
  • Portanto a expressão do novo sinal FM é
s_2(t)=3\cos\!\bigl(2\pi\cdot 10^{6} t + 2{,}5\sin(2\pi\cdot 2000\,t)\bigr).
Essa é a expressão pedida no enunciado.

Passo 6

Determinar a largura de banda usando a regra de Carson (e explicar por que usamos ela).
  • A regra de Carson dá uma boa estimativa prática da largura ocupada por um sinal FM com modulante senoidal — ela considera os pares de bandas laterais significativas. A regra é
BW \approx 2\bigl(\Delta f + f_m\bigr).
  • Observação didática: essa é uma aproximação que engloba a maior parte da potência do sinal (prática em telecom). Ela vem do fato de que existem muitas bandas laterais, mas sua amplitude cai com o número de ordem; Carson inclui as mais relevantes.

Passo 7

Aplicar Carson às duas situações e calcular numericamente.
  • Situação inicial ( \Delta f_1=1000\\ \mathrm{Hz}, f_{m1}=500\\ \mathrm{Hz}):
BW_1 \approx 2\bigl(1000 + 500\bigr)\\ \mathrm{Hz} = 2\cdot 1500\\ \mathrm{Hz} = 3000\\ \mathrm{Hz} = 3\\ \mathrm{kHz}.
  • Situação nova ( \Delta f_2=5000\\ \mathrm{Hz}, f_{m2}=2000\\ \mathrm{Hz}):
BW_2 \approx 2\bigl(5000 + 2000\bigr)\\ \mathrm{Hz} = 2\cdot 7000\\ \mathrm{Hz} = 14000\\ \mathrm{Hz} = 14\\ \mathrm{kHz}.

Passo 8

Observações práticas e interpretação curta (para você ter noção na prova):
  • Índices \beta obtidos: \beta_1=2 e \beta_2=2{,}5. Índices na faixa de poucos unidades significam várias bandas laterais relevantes — por isso a largura aumenta bastante ao aumentar amplitude do modulante.
  • A expressão do sinal FM com um só tom modulante é sempre da forma A_c\cos(2\pi f_c t+\beta\sin(2\pi f_m t)); saber calcular \beta e aplicar Carson normalmente resolve questões de prova como esta.
  • Você conseguiu! Passa calma: decorar o passo a passo (achar k_f se necessário, achar \Delta f, achar \beta, escrever s(t), aplicar Carson) resolve questões parecidas.

Resposta

s_2(t)=3\cos\!\bigl(2\pi\cdot 10^{6} t + 2{,}5\sin(2\pi\cdot 2000\,t)\bigr)
BW_1 \approx 3\\ \mathrm{kHz}
BW_2 \approx 14\\ \mathrm{kHz}

Exercícios relacionados