- Um sinal de 1 MHz de amplitude 3 V é modulado em frequência por um sinal de 500 Hz de amplitude 1 V . O desvio de frequência é de 1 kHz . Se o nivel do sinal modulante passar a ser de 5 V e a frequência de 2 kHz , escreva a expressão do novo sinal FM. Determine a largura de banda, BW, do sinal modulado nas duas situações descritas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo claramente):
- Portadora:
- frequência da portadora:
. - amplitude da portadora:
.
- frequência da portadora:
- Modulação (situação inicial):
- sinal modulante 1: amplitude
e frequência . - desvio de frequência informado:
.
- sinal modulante 1: amplitude
- Modulação (situação nova, a ser escrita):
- sinal modulante 2: amplitude
e frequência .
- sinal modulante 2: amplitude
- O que é pedido:
- Escrever a expressão do novo sinal FM (situação com
e ). - Determinar a largura de banda
do sinal modulado nas duas situações (inicial e nova).
- Escrever a expressão do novo sinal FM (situação com
Passo 2
Breve explicação do modelo de FM que vamos usar (passo-a-passo e sem pular etapas).
- Em modulação em frequência (FM) a frequência instantânea do sinal é alterada pelo sinal modulante
. Escrevendo a sensibilidade em frequência por (com unidades Hz por volt), a frequência instantânea é
- A fase instantânea
é a integral da frequência instantânea multiplicada por :
- Para o caso de modulante senoidal de amplitude
e frequência , ou seja , a integral é
- Substituindo na fase:
onde definimos o índice de modulação em frequência (índice de FM)
pois
é o desvio de frequência máximo.
- Portanto, o sinal FM (para modulante senoidal) é
Essa é a forma que vamos usar para escrever as expressões numéricas.
Passo 3
Determinar a constante
(sensibilidade em Hz/V) usando os dados iniciais.
- Do enunciado foi dado
quando . Assim
- Interpretação: cada volt no modulante muda a frequência por
.
Passo 4
Escrever a expressão do sinal FM na situação inicial (para referência) e calcular o índice
.
- Calculando o desvio (confirmação):
(coincide com o dado). - Índice de modulação inicial:
- Então a expressão do sinal modulado inicialmente é (colocando números):
Aqui cada variável é:
-
é a amplitude , -
é em , -
é em , - e
é o índice .
Passo 5
Calcular a nova situação (o que pediram): novos
,
e escrever
.
- Novo desvio de frequência:
- Índice de modulação novo:
(repare que usei vírgula decimal conforme pedido).
- Portanto a expressão do novo sinal FM é
Essa é a expressão pedida no enunciado.
Passo 6
Determinar a largura de banda usando a regra de Carson (e explicar por que usamos ela).
- A regra de Carson dá uma boa estimativa prática da largura ocupada por um sinal FM com modulante senoidal — ela considera os pares de bandas laterais significativas. A regra é
- Observação didática: essa é uma aproximação que engloba a maior parte da potência do sinal (prática em telecom). Ela vem do fato de que existem muitas bandas laterais, mas sua amplitude cai com o número de ordem; Carson inclui as mais relevantes.
Passo 7
Aplicar Carson às duas situações e calcular numericamente.
- Situação inicial (
, ):
- Situação nova (
, ):
Passo 8
Observações práticas e interpretação curta (para você ter noção na prova):
- Índices
obtidos: e . Índices na faixa de poucos unidades significam várias bandas laterais relevantes — por isso a largura aumenta bastante ao aumentar amplitude do modulante. - A expressão do sinal FM com um só tom modulante é sempre da forma
; saber calcular e aplicar Carson normalmente resolve questões de prova como esta. - Você conseguiu! Passa calma: decorar o passo a passo (achar
se necessário, achar , achar , escrever , aplicar Carson) resolve questões parecidas.