1. Desenhe o espectro de amplitudes de um sinal FM, com as seguintes caracteristicas: \mathrm{f}_{\mathrm{m}}=1,5 \mathrm{kHz}, \Delta \mathrm{f}=3 \mathrm{kHz} e \mathrm{E}_{0}=5 \mathrm{~V}. Determine também o indice de modulação \beta, o número de pares de bandas laterais n e a largura de banda BW do sinal modulado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá alguns dados. Vou listar cuidadosamente o que foi dado e o que se pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • frequência do sinal modulador: \mathrm{f}_{\mathrm{m}} = 1{,}5\\ \mathrm{kHz}.
    • desvio de frequência (peak frequency deviation): \Delta \mathrm{f} = 3\\ \mathrm{kHz}.
    • amplitude do portador não modulada: \mathrm{E}_0 = 5\\ \mathrm{V}.
  • O que o enunciado solicita:
    1. Desenhar o espectro de amplitudes do sinal FM (ou seja, identificar as linhas espectrais: porteador e pares de bandas laterais, e indicar suas amplitudes relativas).
    2. Determinar o índice de modulação \beta.
    3. Determinar o número de pares de bandas laterais n que devem ser considerados (ou seja, quantos pares de sidebands são significativos).
    4. Determinar a largura de banda \mathrm{BW} ocupada pelo sinal modulado.

Passo 2

Calcular o índice de modulação \beta e entender o que ele representa.
  • Conceito rápido (aula mini): o índice de modulação em FM é a relação entre o desvio de frequência máximo e a frequência do modulador. Ele mede “quanto” a frequência do portador é desviada em relação à velocidade de oscilação do modulador. A fórmula é:
\beta = \frac{\Delta f}{f_m}.
Aqui:
  • \Delta f é o desvio máximo de frequência (em Hz),
  • f_m é a frequência do sinal modulador (em Hz).
  • Aplicando aos dados:
\beta = \frac{3\\ \mathrm{kHz}}{1{,}5\\ \mathrm{kHz}} = \frac{3000}{1500} = 2.
Logo, o índice de modulação é \beta = 2.

Passo 3

Entender a forma do espectro FM e como representar amplitudes das linhas.
  • Conceito curto e útil: um sinal FM simples (portador senoidal modulado por um seno) pode ser escrito como
s(t)=E_0\cos\bigl(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t)\bigr),
onde f_c é a frequência do portador (não fornecida aqui, então o espectro será mostrado em torno de f_c), e \beta é o índice que já calculamos.
  • Expansão em séries de Bessel (receita prática para desenhar o espectro): usando a identidade de Jacobi–Anger, o sinal se expande em componentes discretas nas frequências f_c \pm n f_m:
s(t)=E_0\Bigl[J_0(\beta)\cos(2\pi f_c t) +\sum_{n=1}^{\infty} J_n(\beta)\bigl(\cos(2\pi(f_c+n f_m)t)+(-1)^n\cos(2\pi(f_c-n f_m)t)\bigr)\Bigr],
onde J_n(\beta) são as funções de Bessel de primeira espécie de ordem n. Na prática para o espectro de amplitudes interessa que existem linhas em f_c e em f_c\pm n f_m, com amplitude (em volts) proporcional a E_0 J_n(\beta) (o sinal de J_n só dá fase, a magnitude é |J_n(\beta)|).
  • Como desenhar: eixo horizontal é a frequência; marcar f_c (porta­dor) com amplitude E_0 J_0(\beta); marcar pares de linhas em f_c\pm f_m,\\ f_c\pm 2f_m,\\ \ldots com amplitudes E_0 J_1(\beta),\\ E_0 J_2(\beta),\\ \ldots. A posição exata das linhas depende de f_c (não dada), então trabalhar em deslocamentos \pm n f_m em torno de f_c.

Passo 4

Calcular numericamente as amplitudes das primeiras linhas (usar valores de J_n(\beta) para \beta=2) e listar as frequências relativas.
  • Explicando as funções de Bessel (mini-aula): J_n(\beta) é um número que depende de \beta e determina a “energia” nas bandas laterais de ordem n. Não é uma função elementar simples; usa-se tabela ou calculadora científica. Para \beta=2, valores conhecidos (aproximados) são:
    • J_0(2)\approx 0{,}223890779,
    • J_1(2)\approx 0{,}576724807,
    • J_2(2)\approx 0{,}352834028,
    • J_3(2)\approx 0{,}128943249.
(obs.: estes valores são extraídos de tabelas padrão de funções de Bessel; nas provas normalmente pode-se consultar tabela ou a questão pede apenas procedimento. Aqui uso-os para obter amplitudes numéricas.)
  • Amplitudes em volts (multiplicando por E_0=5\\ \mathrm{V}):
    \begin{aligned} &\text{Portador (ordem 0)}:\quad A_0 = E_0 J_0(2) \approx 5\cdot 0{,}223890779 \approx 1{,}119\\ \mathrm{V},\\[4pt] &\text{1º par (}n=1\text{), em }f_c\pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz}:\quad A_1 = E_0 J_1(2) \approx 5\cdot 0{,}576724807 \approx 2{,}884\\ \mathrm{V},\\[4pt] &\text{2º par (}n=2\text{), em }f_c\pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz}:\quad A_2 = E_0 J_2(2) \approx 5\cdot 0{,}352834028 \approx 1{,}764\\ \mathrm{V},\\[4pt] &\text{3º par (}n=3\text{), em }f_c\pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz}:\quad A_3 = E_0 J_3(2) \approx 5\cdot 0{,}128943249 \approx 0{,}645\\ \mathrm{V}. \end{aligned}ººº
  • Observação prática para desenhar: no espectro, o primeiro par de sidebands ( \pm 1 f_m) terá a maior amplitude ( \approx 2{,}884\\ \mathrm{V}), o portador aparece com amplitude menor ( \approx 1{,}119\\ \mathrm{V}), e as amplitudes decaem para ordens mais altas. Para desenho, representar barras (linhas espectrais) em f_c, f_c\pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz}, f_c\pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz}, f_c\pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz} com alturas proporcionais aos valores acima.]

Passo 5

Determinar o número de pares de bandas laterais significativas n e a largura de banda \mathrm{BW} usando a regra prática de Carson.
  • Explicação da regra de Carson (mini-aula): Carson dá uma estimativa prática da largura de banda ocupada por um sinal FM, incluindo as componentes principais. A fórmula de Carson é
\mathrm{BW} \approx 2(\Delta f + f_m).
Essa regra engloba os conjuntos de bandas laterais significativas de ordens até aproximadamente n\approx \beta + 1 pares (ou seja, incluir n de 1 até \beta+1).
  • Aplicando os números:
\mathrm{BW} \approx 2\bigl(3\\ \mathrm{kHz} + 1{,}5\\ \mathrm{kHz}\bigr) = 2\cdot 4{,}5\\ \mathrm{kHz} = 9\\ \mathrm{kHz}.
  • Número de pares de bandas laterais:
n \approx \beta + 1 = 2 + 1 = 3\\ \text{pares}.
Isto coincide com os cálculos do Passo 4, onde as amplitudes até n=3 ainda são apreciáveis; ordens maiores têm amplitudes bem menores.

Passo 6

Como montar o desenho do espectro passo a passo (instrução prática para a prova).
  1. Desenhar eixo horizontal rotulado em frequência, marcar um ponto central f_c (frequência do portador).
  2. Marcar deslocamentos de \pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz}, \pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz}, \pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz} em torno de f_c.
  3. No eixo vertical (amplitude em volts), desenhar barras verticais (linhas espectrais) nas frequências:
    • f_c com altura proporcional a 1{,}119\\ \mathrm{V} (portador).
    • f_c\pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz} com altura proporcional a 2{,}884\\ \mathrm{V}.
    • f_c\pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz} com altura proporcional a 1{,}764\\ \mathrm{V}.
    • f_c\pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz} com altura proporcional a 0{,}645\\ \mathrm{V}.
  4. Opcional: indicar que além de n=3 as amplitudes continuam caindo (por exemplo J_4(2) é pequena), e demarcar a largura total ocupada aproximada \mathrm{BW}=9\\ \mathrm{kHz} que vai de f_c-4{,}5\\ \mathrm{kHz} até f_c+4{,}5\\ \mathrm{kHz} (observe que isso corresponde a incluir 3 pares mais o portador).
  5. Legenda: anotar que as amplitudes são E_0 J_n(\beta) e que os valores numéricos acima foram calculados usando E_0=5\\ \mathrm{V} e J_n(2).

Resposta

\beta = 2
n = 3\\ \text{pares de bandas laterais (aproximadamente)}
\mathrm{BW} \approx 9\\ \mathrm{kHz}

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