- Desenhe o espectro de amplitudes de um sinal FM, com as seguintes caracteristicas:
e
. Determine também o indice de modulação
, o número de pares de bandas laterais
e a largura de banda BW do sinal modulado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá alguns dados. Vou listar cuidadosamente o que foi dado e o que se pede (sem resolver ainda):
-
Dados fornecidos:
- frequência do sinal modulador:
. - desvio de frequência (peak frequency deviation):
. - amplitude do portador não modulada:
.
- frequência do sinal modulador:
-
O que o enunciado solicita:
- Desenhar o espectro de amplitudes do sinal FM (ou seja, identificar as linhas espectrais: porteador e pares de bandas laterais, e indicar suas amplitudes relativas).
- Determinar o índice de modulação
. - Determinar o número de pares de bandas laterais
que devem ser considerados (ou seja, quantos pares de sidebands são significativos). - Determinar a largura de banda
ocupada pelo sinal modulado.
Passo 2
Calcular o índice de modulação
e entender o que ele representa.
- Conceito rápido (aula mini): o índice de modulação em FM é a relação entre o desvio de frequência máximo e a frequência do modulador. Ele mede “quanto” a frequência do portador é desviada em relação à velocidade de oscilação do modulador. A fórmula é:
Aqui:
-
é o desvio máximo de frequência (em Hz), -
é a frequência do sinal modulador (em Hz). -
Aplicando aos dados:
Logo, o índice de modulação é
.
Passo 3
Entender a forma do espectro FM e como representar amplitudes das linhas.
- Conceito curto e útil: um sinal FM simples (portador senoidal modulado por um seno) pode ser escrito como
onde
é a frequência do portador (não fornecida aqui, então o espectro será mostrado em torno de
), e
é o índice que já calculamos.
- Expansão em séries de Bessel (receita prática para desenhar o espectro): usando a identidade de Jacobi–Anger, o sinal se expande em componentes discretas nas frequências
:
onde
são as funções de Bessel de primeira espécie de ordem
. Na prática para o espectro de amplitudes interessa que existem linhas em
e em
, com amplitude (em volts) proporcional a
(o sinal de
só dá fase, a magnitude é
).
- Como desenhar: eixo horizontal é a frequência; marcar
(portador) com amplitude ; marcar pares de linhas em com amplitudes . A posição exata das linhas depende de (não dada), então trabalhar em deslocamentos em torno de .
Passo 4
Calcular numericamente as amplitudes das primeiras linhas (usar valores de
para
) e listar as frequências relativas.
- Explicando as funções de Bessel (mini-aula):
é um número que depende de e determina a “energia” nas bandas laterais de ordem . Não é uma função elementar simples; usa-se tabela ou calculadora científica. Para , valores conhecidos (aproximados) são: -
, -
, -
, -
.
-
(obs.: estes valores são extraídos de tabelas padrão de funções de Bessel; nas provas normalmente pode-se consultar tabela ou a questão pede apenas procedimento. Aqui uso-os para obter amplitudes numéricas.)
-
Amplitudes em volts (multiplicando por
): -
Observação prática para desenhar: no espectro, o primeiro par de sidebands (
) terá a maior amplitude ( ), o portador aparece com amplitude menor ( ), e as amplitudes decaem para ordens mais altas. Para desenho, representar barras (linhas espectrais) em com alturas proporcionais aos valores acima.]
Passo 5
Determinar o número de pares de bandas laterais significativas
e a largura de banda
usando a regra prática de Carson.
- Explicação da regra de Carson (mini-aula): Carson dá uma estimativa prática da largura de banda ocupada por um sinal FM, incluindo as componentes principais. A fórmula de Carson é
Essa regra engloba os conjuntos de bandas laterais significativas de ordens até aproximadamente
pares (ou seja, incluir
de 1 até
).
- Aplicando os números:
- Número de pares de bandas laterais:
Isto coincide com os cálculos do Passo 4, onde as amplitudes até
ainda são apreciáveis; ordens maiores têm amplitudes bem menores.
Passo 6
Como montar o desenho do espectro passo a passo (instrução prática para a prova).
- Desenhar eixo horizontal rotulado em frequência, marcar um ponto central
(frequência do portador). - Marcar deslocamentos de
em torno de . - No eixo vertical (amplitude em volts), desenhar barras verticais (linhas espectrais) nas frequências:
-
com altura proporcional a (portador). -
com altura proporcional a . -
com altura proporcional a . -
com altura proporcional a .
-
- Opcional: indicar que além de
as amplitudes continuam caindo (por exemplo é pequena), e demarcar a largura total ocupada aproximada que vai de até (observe que isso corresponde a incluir 3 pares mais o portador). - Legenda: anotar que as amplitudes são
e que os valores numéricos acima foram calculados usando e .