Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de
, uma amplitude de
e uma velocidade máxima de
. Determine
Em seguida, o sistema está colocado num piso com atrito e a amplitude de oscilações diminui
em 2 minutos. Qual é a constante de amortecimento do sistema (b)?
Em seguida, o sistema está colocado num piso com atrito e a amplitude de oscilações diminui
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema oscilatório bloco-mola que tem uma energia mecânica de
, uma amplitude de
e uma velocidade máxima de
. Depois, o sistema é colocado em um piso com atrito, e a amplitude diminui
em 2 minutos. Nosso objetivo é encontrar a constante de amortecimento
desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Física sobre oscilações e amortecimento, envolvendo energia mecânica, amplitude, velocidade e equilíbrio das forças com atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica
de um sistema oscilatório é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética. No ponto de máxima amplitude, toda a energia é potencial, e na posição central, toda é cinética. A relação entre energia, amplitude
e constante elástica
é dada por:
Como sabemos
e
, podemos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos analisar a velocidade máxima
, que ocorre na posição central. A energia cinética máxima é igual à energia mecânica total:
Com
e
, podemos encontrar a massa
:
Passo 4
Para encontrar a constante de amortecimento
, precisamos entender como a amplitude diminui ao longo do tempo devido ao atrito. O amortecimento faz com que a amplitude diminua exponencialmente:
Onde:
-
é a amplitude em um tempo , -
é a amplitude inicial, -
é a constante de amortecimento, -
é a massa.
Sabemos que a amplitude diminui
em
minutos
segundos. Portanto:
Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos resolver a equação para
:
Resposta
A constante de amortecimento do sistema é aproximadamente
.