Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,00 J, uma amplitude de 10,0 cm e uma velocidade máxima de 1,50 m s^-1. Determine
Em seguida, o sistema está colocado num piso com atrito e a amplitude de oscilações diminui 5,00 cm em 2 minutos. Qual é a constante de amortecimento do sistema (b)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema oscilatório bloco-mola que tem uma energia mecânica de 1,00 J, uma amplitude de 10,0 cm e uma velocidade máxima de 1,50 m/s. Depois, o sistema é colocado em um piso com atrito, e a amplitude diminui 5,00 cm em 2 minutos. Nosso objetivo é encontrar a constante de amortecimento b desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Física sobre oscilações e amortecimento, envolvendo energia mecânica, amplitude, velocidade e equilíbrio das forças com atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica E de um sistema oscilatório é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética. No ponto de máxima amplitude, toda a energia é potencial, e na posição central, toda é cinética. A relação entre energia, amplitude A e constante elástica k é dada por:
E = 12 k A^2
Como sabemos E = 1,00 J e A = 10,0 cm = 0,10 m, podemos calcular k:
1,00 = 12 k (0,10)^2 1,00 = 12 k (0,01) 1,00 = 0,005 k k = 1,000,005 k = 200 N/m

Passo 3

Agora, vamos analisar a velocidade máxima vmax, que ocorre na posição central. A energia cinética máxima é igual à energia mecânica total:
E = 12 m vmax^2
Com E = 1,00 J e vmax = 1,50 m/s, podemos encontrar a massa m:
1,00 = 12 m (1,50)^2 1,00 = 12 m (2,25) 1,00 = 1,125 m m = 1,001,125 m approx 0,89 kg

Passo 4

Para encontrar a constante de amortecimento b, precisamos entender como a amplitude diminui ao longo do tempo devido ao atrito. O amortecimento faz com que a amplitude diminua exponencialmente:
A(t) = A0 e^-b2m t
Onde:
  • A(t) é a amplitude em um tempo t,
  • A0 é a amplitude inicial,
  • b é a constante de amortecimento,
  • m é a massa.
Sabemos que a amplitude diminui 5,00 cm = 0,05 m em 2 minutos = 120 segundos. Portanto:
A(t) = A0 - 0,05 = 0,10 - 0,05 = 0,05 m
Substituindo na equação:
0,05 = 0,10 e^-b2 times 0,89 times 120

Passo 5

Vamos resolver a equação para b:
0,050,10 = e^-b1,78 times 120 0,5 = e^-b times 1201,78 ln(0,5) = -b times 1201,78 -0,6931 = -b times 1201,78 0,6931 = b times 1201,78 b = 0,6931 times 1,78120 b approx 1,234120 b approx 0,0103 kg/s

Resposta

A constante de amortecimento do sistema é aproximadamente 0,0103 kg/s.

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