Obtenha o diagrama de Bode. Mostre que a margem de fase é \mathrm{PM}=20,1^{\circ} e que a margem de ganho é \mathrm{GM}=6,61 \mathrm{~dB}.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
L(s)=\frac{3\,(1+5s)}{s\,(4+s)\,(1+2s+2s^2)}
e pede o diagrama de Bode e, a partir dele, as margens de fase e de ganho. O conteúdo usado é análise de Bode: fatoramos L(j\omega), achamos as frequências de cruzamento de ganho (\lvert L(j\omega)\rvert=1) e de fase (\arg L(j\omega)=-180^\circ), e daí calculamos
Listamos os fatores de L(s) e suas frequências de quebra:
Zero em s=-\tfrac15, com \omega_z=\tfrac1{5}=0,2,rad/s (soma de +20 dB/déc).
Polo de primeira ordem em s=-4, com \omega_{p1}=4,rad/s (soma de –20 dB/déc).
Par de polos complexos em 1+2s+2s^2, escrevemos como1+2s+2s^2 = 2\Bigl[\bigl(s/\omega_n\bigr)^2 + 2\zeta\,(s/\omega_n)+1\Bigr]onde \omega_n=1/\sqrt2\approx0,707,rad/s e \zeta=0,707. Esse par adiciona –40 dB/déc acima de \omega_n.
Integrador 1/s contribui –20 dB/déc desde \omega=0^+.
Passo 3
Com essas quebras, esboçamos o diagrama assintótico de magnitude em dB:
– Abaixo de 0,2 rad/s, a queda total é –20 dB/déc (integrador).
– Entre 0,2 e 0,707 rad/s, a inclinação é 0 dB/déc (–20+20).
– Entre 0,707 e 4 rad/s, sobe a –20 dB/déc (–20+20–40).
– Acima de 4 rad/s, passa para –40 dB/déc (–20+20–40–20).
A partir do esboço refinamos numericamente o cruzamento de ganho.
Passo 4
Procuramos \omega_{gc} tal que \lvert L(j\omega_{gc})\rvert=1. Fazendo iterações no cálculo