Esboce os diagramas de Nyquist das seguintes funções de transferência em malha
L_{1}(s)=G_{c 1}(s) G_{1}(s),
e determine se o sistema é estável aplicando o critério de Nyquist:
L(s)=G_{c}(s) G(s)=\frac{K(s+2)}{s^{2}(s+5)} .
Se o sistema for estável, encontre o valor máximo de K determinando o ponto em que o diagrama de Nyquist cruza o eixo real.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos esboçar o diagrama de Nyquist de duas funções em malha aberta, sendo a primeira
L_{1}(s)=G_{c1}(s)\,G_{1}(s),
e depois aplicar o critério de Nyquist à função
L(s)=G_{c}(s)\,G(s) =\frac{K\,(s+2)}{s^{2}(s+5)}
para verificar estabilidade do sistema em realimentação e, caso estável, determinar o valor máximo de K a partir do cruzamento do diagrama com o eixo real.

Passo 2

Observação importante: o enunciado não fornece fórmulas explícitas para G_{c1}(s) nem para G_{1}(s), portanto não é possível esboçar o diagrama de Nyquist de L_{1}(s). Vamos em diante tratar somente de
L(s)=\frac{K\,(s+2)}{s^{2}(s+5)}.

Passo 3

Análise de polos e zeros de L(s):
  • Zero em s=-2.
  • Polo de multiplicidade 2 em s=0.
  • Polo simples em s=-5.
    Para traçar Nyquist, consideramos s=j\omega com \omega\ge0 e fazemos a volta no semiplano direito contornando os polos em s=0.

Passo 4

Esboço qualitativo do diagrama de Nyquist de L(j\omega):
  1. Para \omega\to0^+,
L(j\omega)\approx\frac{K\,(2+j0)}{(j\omega)^2\,(5+j0)} =-\frac{K\cdot2}{5\,\omega^2} \;\longrightarrow\;-\infty\quad(\text{fase }\,\approx -180^\circ).
  1. Para \omega\to+\infty,
L(j\omega)\sim\frac{K\,j\omega}{(j\omega)^3} =\frac{K}{j^2\,\omega^2} =-\frac{K}{\omega^2}\;\longrightarrow\;0^-\quad(\text{fase }\,\approx 0^\circ).
  1. Para 0<\omega<\infty, a parte imaginária de
L(j\omega) =-\frac{K}{\omega^2}\,\frac{2+j\omega}{5+j\omega}
é sempre negativa, de modo que a curva vai do ponto “ -\infty no eixo real” em \omega\to0^+, descreve um arco no semiplano inferior e aproxima-se do zero também pelo eixo real (por baixo) em \omega\to\infty.

Passo 5

Aplicação do critério de Nyquist:
  • Polos de L(s) no semiplano direito: P=0.
  • O Nyquist traçado não circunda o ponto -1 (a curva vai de -\infty a 0 no semiplano inferior e não completa volta em torno de -1).
    Pela regra Z = N + P, com N=0 encirclements de -1 e P=0, resulta Z=0. Logo, o sistema em malha fechada não tem polos no semiplano direito e é estável para todo K>0.

Passo 6

Como o diagrama de Nyquist não cruza o eixo real em -1 para nenhum valor finito de K, não há limite superior de K para manter a estabilidade.

Resposta

O diagrama de Nyquist de L_{1}(s) não pode ser esboçado por falta de dados. Para
L(s)=\frac{K\,(s+2)}{s^{2}(s+5)},
o sistema em malha fechada é estável para todo K>0 e não existe valor máximo finito de K que limite a estabilidade (isto é, K_{\max}=\infty).

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