Esboce os diagramas de Nyquist das seguintes funções de transferência em malha
e determine se o sistema é estável aplicando o critério de Nyquist:
Se o sistema for estável, encontre o valor máximo de
determinando o ponto em que o diagrama de Nyquist cruza o eixo real.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos esboçar o diagrama de Nyquist de duas funções em malha aberta, sendo a primeira
e depois aplicar o critério de Nyquist à função
para verificar estabilidade do sistema em realimentação e, caso estável, determinar o valor máximo de
a partir do cruzamento do diagrama com o eixo real.
Passo 2
Observação importante: o enunciado não fornece fórmulas explícitas para
nem para
, portanto não é possível esboçar o diagrama de Nyquist de
. Vamos em diante tratar somente de
Passo 3
Análise de polos e zeros de
:
- Zero em
. - Polo de multiplicidade 2 em
. - Polo simples em
.
Para traçar Nyquist, consideramoscom e fazemos a volta no semiplano direito contornando os polos em .
Passo 4
Esboço qualitativo do diagrama de Nyquist de
:
- Para
,
- Para
,
- Para
, a parte imaginária de
é sempre negativa, de modo que a curva vai do ponto “
no eixo real” em
, descreve um arco no semiplano inferior e aproxima-se do zero também pelo eixo real (por baixo) em
.
Passo 5
Aplicação do critério de Nyquist:
- Polos de
no semiplano direito: . - O Nyquist traçado não circunda o ponto
(a curva vai de a no semiplano inferior e não completa volta em torno de ).
Pela regra, com encirclements de e , resulta . Logo, o sistema em malha fechada não tem polos no semiplano direito e é estável para todo .
Passo 6
Como o diagrama de Nyquist não cruza o eixo real em
para nenhum valor finito de
, não há limite superior de
para manter a estabilidade.
Resposta
O diagrama de Nyquist de
não pode ser esboçado por falta de dados. Para
o sistema em malha fechada é estável para todo
e não existe valor máximo finito de
que limite a estabilidade (isto é,
).