Considere um sistema com realimentação unitária e função de transferência em malha
L(s)=G_{c}(s) G(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+6)} .
(a) Para K=27, mostre que a margem de ganho é \mathrm{GM}=11 \mathrm{~dB}.
(b) Para obter uma margem de ganho \mathrm{GM}=28 \mathrm{~dB}, determine o valor do ganho K.
(c) Qual a faixa de valores de K em que o sistema é estável?
(d) Ilustre o lugar das raízes do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de realimentação unitária com função de loop aberto
L(s)=G_c(s)G(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+6)}
e pede: (a) a margem de ganho para K=27; (b) o K que produz \mathrm{GM}=28,dB; (c) o intervalo de K para estabilidade; (d) o lugar das raízes. Vamos usar análise de margem de ganho (phases e magnitudes em L(j\omega)), critério de Routh–Hurwitz e regras do lugar das raízes.

Passo 2

(a) Para K=27, buscamos a frequência de cruzamento de fase \omega_{pc} em que
\arg L(j\omega_{pc})=-180^\circ.
Como
\arg L(j\omega) =-90^\circ-\arctan\frac{\omega}{2}-\arctan\frac{\omega}{6},
impondo -90^\circ-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/6)=-180^\circ obtemos
\arctan\frac{\omega}{2}+\arctan\frac{\omega}{6}=90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \frac{\omega^2}{12}=1 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{pc}=2\sqrt{3}.
Nesse ponto,
|L(j\omega_{pc})| =\frac{K}{\omega_{pc}\,\sqrt{4+\omega_{pc}^2}\,\sqrt{36+\omega_{pc}^2}} =\frac{K}{96}.
Logo a margem de ganho linear é
\mathrm{GM}_{\mathrm{lin}}=\frac{1}{|L(j\omega_{pc})|}=\frac{96}{K}
e em dB
\mathrm{GM}=20\log_{10}\!\Bigl(\frac{96}{27}\Bigr)\approx11{,}0\\ \mathrm{dB}.

Passo 3

(b) Queremos \mathrm{GM}=28,dB, ou seja
\mathrm{GM}_{\mathrm{lin}}=10^{28/20}\approx25{,}12.
Como \mathrm{GM}_{\mathrm{lin}}=96/K, temos
K=\frac{96}{25{,}12}\approx3{,}82.

Passo 4

(c) A função de transferência em malha fechada tem denominador
1+L(s)=0 \;\Longrightarrow\; s^3+8s^2+12s+K=0.
Construindo a tabela de Routh:
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 12\\\ s^2 & 8 & K\\\ s^1 & \frac{96-K}{8} & 0\\\ s^0 & K & \end{array}
Para todas as entradas positivas é necessário
8>0,\quad 96-K>0,\quad K>0 \quad\Longrightarrow\quad 0<K<96.

Passo 5

(d) Regras do lugar das raízes para L(s)=K/[(s)(s+2)(s+6)]:
— Polos em s=0,\,-2,\,-6, sem zeros finitos.
— Ramos no eixo real onde há número ímpar de polos à direita: são nos intervalos (-\infty,-6) e (-2,0).
— Número de polos n=3, zeros m=0, logo há n-m=3 assimptotas com ângulos
\theta_k=\frac{(2k+1)180^\circ}{3} =\{60^\circ,\,180^\circ,\,300^\circ\},
com centróide
\sigma_a=\frac{\sum\text{polos}-\sum\text{zeros}}{n-m} =\frac{-6-2+0}{3}=-\frac{8}{3}.
— Há um ponto de saída (breakaway) real entre -2 e 0, obtido de \frac{d}{ds}[s(s+2)(s+6)]=0, que dá s\approx-0{,}90.
Dessa forma, dois ramos partem de -2 e 0, unem-se em s\approx-0,90 e vão para as assimptotas a 60^\circ e 300^\circ; o terceiro ramo sai de -6 e segue para -\infty ao longo da assimptota de 180^\circ.

Resposta

(a) \mathrm{GM}=11{,}0\\ \mathrm{dB}.
(b) K\approx3{,}82.
(c) 0<K<96.
(d) Polo em 0,-2,-6; ramos no eixo real em (-\infty,-6) e (-2,0); 3 assimptotas com ângulos 60^\circ,180^\circ,300^\circ e centróide em -8/3; point de breakaway em s\approx-0,90.

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