Considere um sistema com realimentação unitária e função de transferência em malha
(a) Para
, mostre que a margem de ganho é
.
(b) Para obter uma margem de ganho
, determine o valor do ganho
.
(c) Qual a faixa de valores de
em que o sistema é estável?
(d) Ilustre o lugar das raízes do sistema.
(b) Para obter uma margem de ganho
(c) Qual a faixa de valores de
(d) Ilustre o lugar das raízes do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de realimentação unitária com função de loop aberto
e pede: (a) a margem de ganho para
; (b) o
que produz
,dB; (c) o intervalo de
para estabilidade; (d) o lugar das raízes. Vamos usar análise de margem de ganho (phases e magnitudes em
), critério de Routh–Hurwitz e regras do lugar das raízes.
Passo 2
(a) Para
, buscamos a frequência de cruzamento de fase
em que
Como
impondo
obtemos
Nesse ponto,
Logo a margem de ganho linear é
e em dB
Passo 3
(b) Queremos
,dB, ou seja
Como
, temos
Passo 4
(c) A função de transferência em malha fechada tem denominador
Construindo a tabela de Routh:
Para todas as entradas positivas é necessário
Passo 5
(d) Regras do lugar das raízes para
:
— Polos em , sem zeros finitos.
— Ramos no eixo real onde há número ímpar de polos à direita: são nos intervalos e
.
— Número de polos , zeros
, logo há
assimptotas com ângulos
— Polos em
— Ramos no eixo real onde há número ímpar de polos à direita: são nos intervalos
— Número de polos
com centróide
— Há um ponto de saída (breakaway) real entre
e
, obtido de
, que dá
.
Dessa forma, dois ramos partem de e
, unem-se em
e vão para as assimptotas a
e
; o terceiro ramo sai de
e segue para
ao longo da assimptota de
.
Dessa forma, dois ramos partem de
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Polo em ; ramos no eixo real em
e
; 3 assimptotas com ângulos
e centróide em
; point de breakaway em
.
(b)
(c)
(d) Polo em