Um sistema produz a saida y_{1}(t)=2 e^{-3 t} u(t)+3 e^{-4 t} u(t) para a entrada x_{1}(t)=e^{-3 t} u(t). Para a entrada x_{2}(t)=2 e^{-3 t} u(t), a saida è y_{2}(t)= 4 e^{-3 t} u(t)+8 e^{-4 t} u(t) . \quad A \quad saida \, y_{3}(t)=e^{-3 t} u(t-1) \times 2 e^{3} u(t)+ 3 e^{-4(t-1)} u(t-1) é gerada quando a entrada é x_{3}(t)=e^{-3(t-1)} u(t-1). Disserte sobre a possibilidade de o sistema ser:
(a) linear;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (peguei estes dados do enunciado). Temos sinais com a função degrau unitário u(t).
  • Entrada x_{1}(t)=e^{-3 t} u(t). Saída correspondente y_{1}(t)=2 e^{-3 t} u(t)+3 e^{-4 t} u(t).
  • Entrada x_{2}(t)=2 e^{-3 t} u(t). Saída correspondente y_{2}(t)=4 e^{-3 t} u(t)+8 e^{-4 t} u(t).
  • Também foi dado que para x_{3}(t)=e^{-3(t-1)} u(t-1) a saída é y_{3}(t)=e^{-3 t} u(t-1)\times 2 e^{3} u(t)+3 e^{-4(t-1)} u(t-1).
O que se pede nesta parte (a) é determinar se o sistema pode ser linear.

Passo 2

O que significa um sistema ser linear? Vou explicar de forma simples e direta.
  • Denotando pelo operador do sistema L\{\cdot\} a relação entrada \mapsto saída, o sistema é linear se vale a propriedade de superposição: L\{a x_1(t)+b x_2(t)\}=a\,L\{x_1(t)\}+b\,L\{x_2(t)\}para quaisquer escalares a e b e quaisquer sinais x_1,x_2.
  • Essa propriedade é equivalente a duas propriedades mais simples:
    1. Homogeneidade (ou escala): L\{a x(t)\}=a\,L\{x(t)\} para todo escalar a.
    2. Aditividade: L\{x_1(t)+x_2(t)\}=L\{x_1(t)\}+L\{x_2(t)\}.
Vou testar a homogeneidade porque o enunciado já fornece um par de entrada/saída onde a segunda entrada é simplesmente um escalar vezes a primeira.

Passo 3

Teste da homogeneidade usando os dados fornecidos.
  • Observação: x_{2}(t)=2\,x_{1}(t) (porque x_2(t)=2 e^{-3 t} u(t)=2\cdot x_1(t)).
  • Se o sistema fosse linear, pela homogeneidade deveríamos ter y_{2}(t)=L\{x_{2}(t)\}=L\{2 x_{1}(t)\}=2\,L\{x_{1}(t)\}=2\,y_{1}(t).Então vamos calcular explicitamente 2\,y_{1}(t).

Passo 4

Cálculo explícito e comparação.
  • Primeiro calculemos 2\,y_{1}(t): 2\,y_{1}(t)=2\bigl(2 e^{-3 t} u(t)+3 e^{-4 t} u(t)\bigr)=4 e^{-3 t} u(t)+6 e^{-4 t} u(t).
  • A saída real fornecida para x_{2} é y_{2}(t)=4 e^{-3 t} u(t)+8 e^{-4 t} u(t).
  • Comparando termo a termo: os coeficientes do termo e^{-3t}u(t) coincidem ( 4 e 4), mas os coeficientes do termo e^{-4t}u(t) são diferentes ( 6 em 2y_{1} vs 8 em y_{2}). Logo 2\,y_{1}(t)\neq y_{2}(t).
  • Portanto a propriedade de homogeneidade é violada.

Passo 5

Conclusão lógica: se a homogeneidade falha para o par x_{1},x_{2}, então o operador do sistema não satisfaz a propriedade de linearidade. Não é necessário testar a aditividade; a falta de homogeneidade já garante que o sistema não pode ser linear.

Resposta

O sistema não é linear.

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