Um sistema produz a saida
para a entrada
. Para a entrada
, a saida è
saida
é gerada quando a entrada é
. Disserte sobre a possibilidade de o sistema ser:
(a) linear;
(a) linear;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (peguei estes dados do enunciado). Temos sinais com a função degrau unitário
.
- Entrada
. Saída correspondente - Entrada
. Saída correspondente - Também foi dado que para
a saída é
O que se pede nesta parte (a) é determinar se o sistema pode ser linear.
Passo 2
O que significa um sistema ser linear? Vou explicar de forma simples e direta.
- Denotando pelo operador do sistema
a relação entrada saída, o sistema é linear se vale a propriedade de superposição: para quaisquer escalares e e quaisquer sinais . - Essa propriedade é equivalente a duas propriedades mais simples:
- Homogeneidade (ou escala):
para todo escalar . - Aditividade:
.
- Homogeneidade (ou escala):
Vou testar a homogeneidade porque o enunciado já fornece um par de entrada/saída onde a segunda entrada é simplesmente um escalar vezes a primeira.
Passo 3
Teste da homogeneidade usando os dados fornecidos.
- Observação:
(porque ). - Se o sistema fosse linear, pela homogeneidade deveríamos ter
Então vamos calcular explicitamente .
Passo 4
Cálculo explícito e comparação.
- Primeiro calculemos
: - A saída real fornecida para
é - Comparando termo a termo: os coeficientes do termo
coincidem ( e ), mas os coeficientes do termo são diferentes ( em vs em ). Logo - Portanto a propriedade de homogeneidade é violada.
Passo 5
Conclusão lógica: se a homogeneidade falha para o par
, então o operador do sistema não satisfaz a propriedade de linearidade. Não é necessário testar a aditividade; a falta de homogeneidade já garante que o sistema não pode ser linear.
Resposta
O sistema não é linear.