Encontre a função no tempo correspondente à função abaixo. (Valor 4,0)
F(s)=\frac{500(s+1) e^{-7 s}}{(s+6)^{2}\left(s^{2}+6 s+25\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{500(s+1) e^{-7 s}}{(s+6)^{2}\left(s^{2}+6 s+25\right)}
e pede a função no tempo correspondente. Informação importante extraída do enunciado:
  • Há um fator exponencial de atraso e^{-7s} multiplicando uma função racional. Isso indica um deslocamento no tempo (retardo) na transformada inversa.
  • A parte racional é
G(s)=\frac{500(s+1)}{(s+6)^{2}\left(s^{2}+6 s+25\right)}.
O que o problema pede:
  • Calcular g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) e então aplicar o teorema do deslocamento temporal para obter f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t).

Passo 2

Lembrete didático: teoremas e pares que vou usar (explicados):
  • Teorema do deslocamento no tempo (ou de retardamento): se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s) então
\mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}G(s),
onde u(t) é a função degrau de Heaviside. Aqui a=7. Logo depois de achar g(t) para t\ge0, a resposta final será g(t-7)u(t-7).
  • Pares básicos:
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a},\qquad \mathcal{L}\{t e^{-at}\}=\frac{1}{(s+a)^2},
\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(\omega t)\}=\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2},\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}.
  • Para inverter G(s) vou usar frações parciais. A ideia é escrever
\frac{500(s+1)}{(s+6)^{2}\left(s^{2}+6 s+25\right)}=\frac{A}{s+6}+\frac{B}{(s+6)^2}+\frac{Cs+D}{s^2+6s+25},
e determinar A,B,C,D.

Passo 3

Fazendo a expansão em frações parciais: multiplico ambos os lados pela denominação comum (s+6)^2(s^2+6s+25) e obtemos a identidade
500(s+1)=A(s+6)(s^2+6s+25)+B(s^2+6s+25)+(Cs+D)(s+6)^2.
Vou desenvolver os produtos e agrupar coeficientes por potências de s.
  • Primeiro:
(s+6)(s^2+6s+25)=s^3+12s^2+61s+150.
  • E
(s+6)^2=s^2+12s+36,
então
(Cs+D)(s+6)^2 = C s^3 + (12C+D)s^2 + (36C+12D)s + 36D.
Somando tudo, os coeficientes para s^3,s^2,s,1 no lado direito são:
s^3:\\ A+C,
s^2:\\\ 12A + B + 12C + D,
s^1:\\\ 61A + 6B + 36C + 12D,
s^0:\\\ 150A + 25B + 36D.
No lado esquerdo 500(s+1)=500s+500, então os coeficientes são 0 para s^3 e s^2, 500 para s e 500 para a constante. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] 12A + B + 12C + D = 0,\\[4pt] 61A + 6B + 36C + 12D = 500,\\[4pt] 150A + 25B + 36D = 500. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema passo a passo:
  • De A+C=0\) vem \(C=-A\). - Substituindo \(C=-A\) na segunda equação: \[12A + B + 12(-A) + D = 0 \implies B + D = 0 \implies D = -B.
  • Substituo C=-A e D=-B nas duas últimas equações:
    linear:
61A + 6B + 36(-A) + 12(-B) = 500 \implies 25A -6B = 500.
constante:
150A + 25B + 36(-B) = 500 \implies 150A -11B = 500.
Tenho o sistema de duas equações:
\begin{cases} 25A - 6B = 500,\\[4pt] 150A -11B = 500. \end{cases}
Multiplico a primeira por 6: 150A -36B = 3000\]. Subtraindo da segunda: \[(150A -11B) - (150A -36B) = 500 - 3000 \implies 25B = -2500 \implies B = -100.\] Então \(A pela primeira equação:
25A -6(-100) = 500 \implies 25A +600 = 500 \implies 25A = -100 \implies A = -4.
Logo C=-A=4 e D=-B=100.]

Passo 5

Substituindo os coeficientes obtemos a decomposição:
\frac{500(s+1)}{(s+6)^{2}\left(s^{2}+6 s+25\right)}= \frac{-4}{s+6}+\frac{-100}{(s+6)^2}+\frac{4s+100}{s^2+6s+25}.
Agora preparo a inversa da última fração. Completo o quadrado no denominador:
s^2+6s+25=(s+3)^2+16,
e escrevo o numerador 4s+100 na forma 4(s+3)+ constante:
4s+100 = 4(s+3) + 88.
Assim
\frac{4s+100}{s^2+6s+25} = \frac{4(s+3)}{(s+3)^2+4^2} + \frac{88}{(s+3)^2+4^2}.

Passo 6

Aplico agora transformadas inversas conhecidas (aqui explico cada par usado):
  • Para \dfrac{-4}{s+6} vale
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-4}{s+6}\right\} = -4 e^{-6t}.
Raciocínio: \mathcal{L}\{e^{-6t}\} = \dfrac{1}{s+6}, multiplicando por -4 transfere fator.
  • Para \dfrac{-100}{(s+6)^2} vale
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-100}{(s+6)^2}\right\} = -100\, t e^{-6t}.
Raciocínio: \mathcal{L}\{t e^{-6t}\}=\dfrac{1}{(s+6)^2}.
  • Para \dfrac{4(s+3)}{(s+3)^2+4^2} vale
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4(s+3)}{(s+3)^2+4^2}\right\} = 4 e^{-3t}\cos(4t).
Raciocínio: \mathcal{L}\{e^{-3t}\cos(4t)\}=\dfrac{s+3}{(s+3)^2+4^2}, multiplicado por 4 dá fator 4.
  • Para \dfrac{88}{(s+3)^2+4^2} vale
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{88}{(s+3)^2+4^2}\right\} = 88\cdot\frac{1}{4} e^{-3t}\sin(4t) = 22 e^{-3t}\sin(4t).
Raciocínio: \mathcal{L}\{e^{-3t}\sin(4t)\}=\dfrac{4}{(s+3)^2+4^2}, então multiplica-se por 88 e divide por 4.

Passo 7

Juntando todas as parcelas, obtemos g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} para t\ge0:
g(t)= -4 e^{-6t} -100\, t e^{-6t} + 4 e^{-3t}\cos(4t) + 22 e^{-3t}\sin(4t).
Posso reescrever de forma compacta:
g(t)= e^{-3t}\bigl(4\cos(4t)+22\sin(4t)\bigr) - e^{-6t}\bigl(4+100t\bigr).

Passo 8

Aplicando o teorema do deslocamento temporal (porque o F(s) inicial tem o fator e^{-7s}) concluímos que a função no tempo correspondente é o retardo de g:
f(t)=g(t-7)\,u(t-7),
ou seja, substituindo t\mapsto t-7:
f(t)=\Bigl[e^{-3(t-7)}\bigl(4\cos(4(t-7))+22\sin(4(t-7))\bigr)-e^{-6(t-7)}\bigl(4+100(t-7)\bigr)\Bigr]u(t-7).

Resposta

f(t)=\Bigl[e^{-3(t-7)}\bigl(4\cos(4(t-7))+22\sin(4(t-7))\bigr)-e^{-6(t-7)}\bigl(4+100(t-7)\bigr)\Bigr]u(t-7)

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