Encontre a função no tempo correspondente à função abaixo. (Valor 4,0)
Passo 1
O enunciado nos dá a transformada de Laplace
e pede a função no tempo correspondente. Informação importante extraída do enunciado:
- Há um fator exponencial de atraso
multiplicando uma função racional. Isso indica um deslocamento no tempo (retardo) na transformada inversa. - A parte racional é
O que o problema pede:
- Calcular
e então aplicar o teorema do deslocamento temporal para obter .
Passo 2
Lembrete didático: teoremas e pares que vou usar (explicados):
- Teorema do deslocamento no tempo (ou de retardamento): se
então
onde
é a função degrau de Heaviside. Aqui
. Logo depois de achar
para
, a resposta final será
.
- Pares básicos:
- Para inverter
vou usar frações parciais. A ideia é escrever
e determinar
.
Passo 3
Fazendo a expansão em frações parciais: multiplico ambos os lados pela denominação comum
e obtemos a identidade
Vou desenvolver os produtos e agrupar coeficientes por potências de
.
- Primeiro:
- E
então
Somando tudo, os coeficientes para
no lado direito são:
No lado esquerdo
, então os coeficientes são
para
e
,
para
e
para a constante. Assim obtemos o sistema:
Passo 4
Resolvo o sistema passo a passo:
- De
- Substituo
e nas duas últimas equações:
linear:
constante:
Tenho o sistema de duas equações:
Multiplico a primeira por 6:
pela primeira equação:
Logo
e
.]
Passo 5
Substituindo os coeficientes obtemos a decomposição:
Agora preparo a inversa da última fração. Completo o quadrado no denominador:
e escrevo o numerador
na forma
constante:
Assim
Passo 6
Aplico agora transformadas inversas conhecidas (aqui explico cada par usado):
- Para
vale
Raciocínio:
, multiplicando por
transfere fator.
- Para
vale
Raciocínio:
.
- Para
vale
Raciocínio:
, multiplicado por 4 dá fator 4.
- Para
vale
Raciocínio:
, então multiplica-se por
e divide por
.
Passo 7
Juntando todas as parcelas, obtemos
para
:
Posso reescrever de forma compacta:
Passo 8
Aplicando o teorema do deslocamento temporal (porque o
inicial tem o fator
) concluímos que a função no tempo correspondente é o retardo de
:
ou seja, substituindo
: