Determine (\vec{V} x \vec{H}) sendo \vec{H} dado por:
\vec{H}=2 r \cos \theta \vec{a} r-3 r \operatorname{sen} \theta \vec{a} \theta

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial (em coordenadas cilíndricas/polares) e pede para determinar (\vec{V}\times\vec{H}). Os dados são:
\vec{H}=2\,r\cos\theta\,\vec{a}_r-3\,r\sin\theta\,\vec{a}_\theta.
O que precisa ser entregue: o valor do produto vetorial (\vec{V}\times\vec{H}).

Passo 2

Interpretação necessária (não havia definição explícita de \vec{V} no enunciado): aqui vou interpretar \vec{V} como o operador diferencial vetor usual, isto é o operador nabla \vec{\nabla}. Essa interpretação é comum em exercícios que pedem algo como (\vec{V}\times\vec{H}) quando \vec{V} representa o operador diferencial. Assim, o que calcularemos é o rotacional (curl)
\vec{\nabla}\times\vec{H}.
Se essa interpretação fosse incorreta, seria preciso o enunciado definir \vec{V}. Vou usar essa interpretação porque é a mais natural para a notação dada.

Passo 3

Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).
Se
\vec{F}=F_r(r,\theta,z)\,\vec{a}_r+F_\theta(r,\theta,z)\,\vec{a}_\theta+F_z(r,\theta,z)\,\vec{a}_z,
então as componentes do rotacional são
(\vec{\nabla}\times\vec{F})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial\theta}-\frac{\partial F_\theta}{\partial z},
(\vec{\nabla}\times\vec{F})_\theta=\frac{\partial F_r}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial r},
(\vec{\nabla}\times\vec{F})_z=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\big(r F_\theta\big)-\frac{\partial F_r}{\partial\theta}\right].
Explicação curta: essas fórmulas já levam em conta que os versores \vec{a}_r,\vec{a}_\theta dependem de \theta; por isso é mais prático usar essa expressão pronta em vez de derivar os versores.

Passo 4

Identificar componentes do campo \vec{H} em termos de F_r,F_\theta,F_z:
F_r=2\,r\cos\theta,\qquad F_\theta=-3\,r\sin\theta,\qquad F_z=0.
Suponho que não haja dependência de z (o enunciado não mostra termos em z), então as derivadas parciais em z são nulas.
Calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente radial:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial\theta}-\frac{\partial F_\theta}{\partial z}=0-0=0.
  1. Componente azimutal:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_\theta=\frac{\partial F_r}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial r}=0-0=0.
  1. Componente axial (z):
    Primeiro calcular rF_\theta:
rF_\theta=r\big(-3\,r\sin\theta\big)=-3\,r^2\sin\theta.
Derivar em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\big(rF_\theta\big)=\frac{\partial}{\partial r}\big(-3\,r^2\sin\theta\big)=-6\,r\sin\theta.
Derivar F_r em relação a \theta:
\frac{\partial F_r}{\partial\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}\big(2\,r\cos\theta\big)=-2\,r\sin\theta.
Agora montar a fórmula:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_z=\frac{1}{r}\left[-6\,r\sin\theta-(-2\,r\sin\theta)\right] =\frac{1}{r}\big(-6r\sin\theta+2r\sin\theta\big) =\frac{1}{r}\big(-4r\sin\theta\big)=-4\sin\theta.

Passo 5

Reunindo as componentes:
\vec{\nabla}\times\vec{H}=0\cdot\vec{a}_r+0\cdot\vec{a}_\theta+(-4\sin\theta)\,\vec{a}_z.
Ou seja,
\vec{\nabla}\times\vec{H}=-4\sin\theta\,\vec{a}_z.
Esse é o resultado do rotacional; se a notação pedida (\vec{V}\times\vec{H}) equivaler a \vec{\nabla}\times\vec{H}, então essa é a resposta.

Resposta

(\vec{V}\times\vec{H})=-4\sin\theta\,\vec{a}_z

Exercícios relacionados