1. Num sistema de reatores compostos por dois reatores em série, sendo um reator tubular ideal (PFR) e outro de mistura perfeita (CSTR) de volumes iguais, será realizada uma reação de segunda ordem irreversível. Nesse sistema de reatores a conversão atingida será maximizada se:
    (A) a alimentação for totalmente desviada pra o reator CSTR e o reator PFR for isolado.
    (B) o reator CSTR for posicionado à frente do reator PFR
    (C) a alimentação for totalmente desviada para o reator PFR e o reator STR for isolado.
    (D) o reator CSTR for posicionado à frente do reator PFR, utilizando-se uma razão de reciclo igual a 2.

Passo 1

Enunciado resumido e dados importantes:
  • Há dois reatores em série: um reator tubular ideal (PFR) e um reator de mistura perfeita (CSTR).
  • Os volumes dos dois reatores são iguais (cada um tem volume V).
  • Realiza-se uma reação irreversível de segunda ordem com taxa proporcional ao quadrado da concentração.
  • A pergunta: dentre as alternativas dadas, qual arranjo/condição maximiza a conversão atingida?
Informações explícitas do enunciado que usaremos:
  • Lei de velocidade: taxa de consumo de A proporcional a C_A^2 (segunda ordem).
  • Volumes iguais: para cada reator o tempo espacial (space time) será \tau = V/\dot{V} (mesmo \tau para cada um se a vazão volumétrica é a mesma).
  • Alternativas possíveis: usar só CSTR, CSTR antes do PFR, usar só PFR, ou CSTR antes do PFR com reciclo =2.

Passo 2

Definição de conversão e equações de projeto (aulas curtinhas sobre o que vamos usar).
  • Conversão X é a fração consumida de A: X = 1 - \frac{C_{A,\text{out}}}{C_{A,0}}, onde \,C_{A,0}\, é a concentração de alimentação e \,C_{A,\text{out}}\, a concentração à saída do sistema.
  • Para reação de segunda ordem (uni-molecular não, aqui é do tipo A + A \rightarrow produtos ou velocidade r = k C_A^2), a constante k tem unidades compatíveis e a expressão da taxa é -r_A = k C_A^2.
  • Tempo espacial (space time) de um reator de volume V com vazão volumétrica \dot{V}: \tau=\frac{V}{\dot{V}}.
Estas fórmulas e definições servem para derivarmos as relações entrada-saída em cada tipo de reator.

Passo 3

Equação de projeto do PFR para segunda ordem (passo-a-passo):
  • No PFR, a equação diferencial de balanço em regime estacionário e sem difusão axial é \dfrac{dF_A}{dV}=r_A. Como F_A=\dot{V}C_A, \dot{V}\dfrac{dC_A}{dV}= -k C_A^2.
  • Separando e integrando entre entrada e saída (entrada C_{A,0}, saída C_{A,\text{out}}) obtemos:
\int_{C_{A,0}}^{C_{A,\text{out}}}\frac{dC_A}{C_A^2} = -\int_{0}^{V} \frac{k}{\dot{V}}\,dV.
  • A integral à esquerda dá \left[-\dfrac{1}{C_A}\right]_{C_{A,0}}^{C_{A,\text{out}}} = -\dfrac{1}{C_{A,\text{out}}} + \dfrac{1}{C_{A,0}}.
  • A integral à direita é -k \dfrac{V}{\dot{V}} = -k\tau.
  • Igualando e simplificando temos a relação conhecida:
\frac{1}{C_{A,\text{out}}} - \frac{1}{C_{A,0}} = k\tau.
  • Despejando C_{A,\text{out}}:
C_{A,\text{out, PFR}} = \frac{C_{A,0}}{1 + k\tau C_{A,0}}.
Explicando em linguagem simples: num PFR a concentração decresce ao longo do comprimento e, para segunda ordem, a inversa da concentração cresce linearmente com o volume; o resultado é essa expressão fechada.

Passo 4

Equação de projeto do CSTR para segunda ordem (passo-a-passo):
  • Balanço molar em regime estacionário para CSTR: entrada menos saída mais reação dentro = 0. Em termos de concentrações:
\dot{V} (C_{A,0} - C_{A,\text{out}}) = V \, k \, C_{A,\text{out}}^2.
  • Dividindo por \dot{V} e usando \tau=V/\dot{V}:
C_{A,0} - C_{A,\text{out}} = \tau k C_{A,\text{out}}^2.
  • Rearranjando obtemos a equação quadrática para C_{A,\text{out}}:
\tau k C_{A,\text{out}}^2 + C_{A,\text{out}} - C_{A,0} = 0.
  • Resolvendo pela fórmula quadrática (escolhemos a raiz positiva fisicamente admissível):
C_{A,\text{out, CSTR}} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 k\tau C_{A,0}}}{2 k \tau}.
Breve explicação: no CSTR a reação ocorre com a concentração uniforme igual à saída, e a equação resultante para C_{A,\text{out}} é uma quadrática porque a taxa é proporcional a C^2.

Passo 5

Comparação direta PFR versus CSTR para o mesmo volume e mesma alimentação (o coração do argumento):
  • Defina a quantidade adimensional \,a = k \tau C_{A,0}\, (é positiva quando há reação).
  • As expressões anteriores em função de a:
C_{A,\text{out, PFR}} = \frac{C_{A,0}}{1 + a}, \qquad C_{A,\text{out, CSTR}} = C_{A,0}\cdot \frac{-1 + \sqrt{1 + 4a}}{2a}.
  • Queremos ver qual dos dois dá menor concentração de saída (menor C_{A,\text{out}} significa maior conversão).
  • Mostramos a desigualdade (válida para todo a>0):
\frac{1}{1+a} \; < \; \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2a}.
Prova rápida (passos algébricos claros):
  1. Multiplicando ambos os lados por 2a(1+a)>0:
2a < (1+a)\bigl(-1 + \sqrt{1+4a}\bigr).
  1. Rearranjando:
1 + 3a < (1+a)\sqrt{1+4a}.
  1. Ambas as partes são positivas para a>0, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sinal:
(1+3a)^2 < (1+a)^2(1+4a).
  1. Expandindo ambos os lados e simplificando, o que resta é
0 < 4 a^3,
o que é verdade para todo a>0. Logo a desigualdade original é verdadeira.
  • Conclusão desta comparação: para mesma entrada C_{A,0} e mesmo \tau (ou seja, mesmo volume e vazão), o PFR leva a uma concentração de saída menor do que o CSTR quando a reação é de segunda ordem. Portanto, o PFR dá maior conversão por unidade de volume quando a ordem da reação é maior que 1.

Passo 6

Interpretação aplicada às alternativas e conclusão final:
  • Das alternativas apresentadas:
    • (A) usar só CSTR (PFR isolado) é claramente ruim porque CSTR dá menor conversão que PFR para segunda ordem.
    • (B) colocar o CSTR à frente do PFR (CSTR primeiro) implica que o escoamento inicial sofre o comportamento de mistura perfeita, perdendo eficiência para reação de ordem >1; isso é menos favorável que colocar PFR na posição de maior importância.
    • (D) é uma versão de (B) com reciclo; reciclo pode alterar o desempenho, mas a alternativa não diz que o PFR será usado de forma preferencial nem garante que isso supere a opção de usar PFR puro; além disso a reciclagem complica o balanço e não é a sugestão direta para maximizar conversão para ordem 2 com volumes iguais.
    • (C) enviar toda a alimentação para o reator PFR (isolando o CSTR) significa utilizar o reator que, para segunda ordem, fornece maior conversão por volume. Entre as alternativas dadas, a mais vantajosa é escolher o PFR em detrimento do CSTR.
  • Observação útil (para ficar contente na prova): se a pergunta permitisse trocar ordem mantendo ambos ativos, a combinação PFR seguido de CSTR (PFR→CSTR) costuma ser melhor do que CSTR→PFR quando a ordem >1; entretanto, nas alternativas só há a opção de isolar CSTR ou CSTR na frente — a alternativa mais diretamente vantajosa nas opções dadas é usar apenas o PFR.

Resposta

(C)

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