- Num sistema de reatores compostos por dois reatores em série, sendo um reator tubular ideal (PFR) e outro de mistura perfeita (CSTR) de volumes iguais, será realizada uma reação de segunda ordem irreversível. Nesse sistema de reatores a conversão atingida será maximizada se:
(A) a alimentação for totalmente desviada pra o reator CSTR e o reator PFR for isolado.
(B) o reator CSTR for posicionado à frente do reator PFR
(C) a alimentação for totalmente desviada para o reator PFR e o reator STR for isolado.
(D) o reator CSTR for posicionado à frente do reator PFR, utilizando-se uma razão de reciclo igual a 2.
(A) a alimentação for totalmente desviada pra o reator CSTR e o reator PFR for isolado.
(B) o reator CSTR for posicionado à frente do reator PFR
(C) a alimentação for totalmente desviada para o reator PFR e o reator STR for isolado.
(D) o reator CSTR for posicionado à frente do reator PFR, utilizando-se uma razão de reciclo igual a 2.
Passo 1
Enunciado resumido e dados importantes:
- Há dois reatores em série: um reator tubular ideal (PFR) e um reator de mistura perfeita (CSTR).
- Os volumes dos dois reatores são iguais (cada um tem volume
). - Realiza-se uma reação irreversível de segunda ordem com taxa proporcional ao quadrado da concentração.
- A pergunta: dentre as alternativas dadas, qual arranjo/condição maximiza a conversão atingida?
Informações explícitas do enunciado que usaremos:
- Lei de velocidade: taxa de consumo de
proporcional a (segunda ordem). - Volumes iguais: para cada reator o tempo espacial (space time) será
(mesmo para cada um se a vazão volumétrica é a mesma). - Alternativas possíveis: usar só CSTR, CSTR antes do PFR, usar só PFR, ou CSTR antes do PFR com reciclo
.
Passo 2
Definição de conversão e equações de projeto (aulas curtinhas sobre o que vamos usar).
- Conversão
é a fração consumida de : onde é a concentração de alimentação e a concentração à saída do sistema. - Para reação de segunda ordem (uni-molecular não, aqui é do tipo
produtos ou velocidade ), a constante tem unidades compatíveis e a expressão da taxa é . - Tempo espacial (space time) de um reator de volume
com vazão volumétrica :
Estas fórmulas e definições servem para derivarmos as relações entrada-saída em cada tipo de reator.
Passo 3
Equação de projeto do PFR para segunda ordem (passo-a-passo):
- No PFR, a equação diferencial de balanço em regime estacionário e sem difusão axial é
. Como , . - Separando e integrando entre entrada e saída (entrada
, saída ) obtemos:
- A integral à esquerda dá
. - A integral à direita é
. - Igualando e simplificando temos a relação conhecida:
- Despejando
:
Explicando em linguagem simples: num PFR a concentração decresce ao longo do comprimento e, para segunda ordem, a inversa da concentração cresce linearmente com o volume; o resultado é essa expressão fechada.
Passo 4
Equação de projeto do CSTR para segunda ordem (passo-a-passo):
- Balanço molar em regime estacionário para CSTR: entrada menos saída mais reação dentro = 0. Em termos de concentrações:
- Dividindo por
e usando :
- Rearranjando obtemos a equação quadrática para
:
- Resolvendo pela fórmula quadrática (escolhemos a raiz positiva fisicamente admissível):
Breve explicação: no CSTR a reação ocorre com a concentração uniforme igual à saída, e a equação resultante para
é uma quadrática porque a taxa é proporcional a
.
Passo 5
Comparação direta PFR versus CSTR para o mesmo volume e mesma alimentação (o coração do argumento):
- Defina a quantidade adimensional
(é positiva quando há reação). - As expressões anteriores em função de
:
- Queremos ver qual dos dois dá menor concentração de saída (menor
significa maior conversão). - Mostramos a desigualdade (válida para todo
):
Prova rápida (passos algébricos claros):
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Rearranjando:
- Ambas as partes são positivas para
, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sinal:
- Expandindo ambos os lados e simplificando, o que resta é
o que é verdade para todo
. Logo a desigualdade original é verdadeira.
- Conclusão desta comparação: para mesma entrada
e mesmo (ou seja, mesmo volume e vazão), o PFR leva a uma concentração de saída menor do que o CSTR quando a reação é de segunda ordem. Portanto, o PFR dá maior conversão por unidade de volume quando a ordem da reação é maior que 1.
Passo 6
Interpretação aplicada às alternativas e conclusão final:
- Das alternativas apresentadas:
- (A) usar só CSTR (PFR isolado) é claramente ruim porque CSTR dá menor conversão que PFR para segunda ordem.
- (B) colocar o CSTR à frente do PFR (CSTR primeiro) implica que o escoamento inicial sofre o comportamento de mistura perfeita, perdendo eficiência para reação de ordem
; isso é menos favorável que colocar PFR na posição de maior importância. - (D) é uma versão de (B) com reciclo; reciclo pode alterar o desempenho, mas a alternativa não diz que o PFR será usado de forma preferencial nem garante que isso supere a opção de usar PFR puro; além disso a reciclagem complica o balanço e não é a sugestão direta para maximizar conversão para ordem 2 com volumes iguais.
- (C) enviar toda a alimentação para o reator PFR (isolando o CSTR) significa utilizar o reator que, para segunda ordem, fornece maior conversão por volume. Entre as alternativas dadas, a mais vantajosa é escolher o PFR em detrimento do CSTR.
- Observação útil (para ficar contente na prova): se a pergunta permitisse trocar ordem mantendo ambos ativos, a combinação PFR seguido de CSTR (PFR→CSTR) costuma ser melhor do que CSTR→PFR quando a ordem
; entretanto, nas alternativas só há a opção de isolar CSTR ou CSTR na frente — a alternativa mais diretamente vantajosa nas opções dadas é usar apenas o PFR.
Resposta
(C)