Para o sistema de retroação unitária G(s), determinar o valor de K que produza uma constante de erro estático de 10.000.
G(s)=\frac{K(s+2)(s+4)(s+6)}{s^{2}(s+5)(s+7)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de K que produza uma constante de erro estático igual a 10000 para um sistema de retroação unitária com função de malha aberta
G(s)=\frac{K(s+2)(s+4)(s+6)}{s^{2}(s+5)(s+7)}.
Informações dadas (lista clara):
  • Sistema em malha unitária (retroação unitária).
  • A função de transferência em malha aberta é G(s) dada acima.
  • A constante de erro estático desejada vale 10000.
  • Não foram dadas outras restrições; devemos determinar K que atende essa condição.

Passo 2

O que significa “constante de erro estático” aqui e como a encontramos? Vou explicar o conceito passo a passo, sem pular nada, como se estivéssemos estudando para a prova.
  1. Em sistemas de controle em malha unitária, existem três constantes estáticas de interesse, dependendo do tipo de entrada:
  • constante de posição K_p, útil para entrada degrau;
  • constante de velocidade K_v, útil para entrada rampa;
  • constante de aceleração K_a, útil para entrada parabólica.
  1. Essas constantes são definidas por limites envolvendo G(s) quando s\to 0:
K_p=\lim_{s\to 0}G(s),
K_v=\lim_{s\to 0}s\,G(s),
K_a=\lim_{s\to 0}s^{2}G(s).
Explicação: multiplicamos por s ou s^2 porque cada polo em s=0 (integrador) no denominador aumenta o tipo do sistema e muda a natureza do erro para entradas com menor derivada (degrau → rampa → parábola).
  1. Para escolher qual dessas constantes corresponde à “constante de erro estático” mencionada no enunciado, olhamos para o número de polos em s=0 de G(s) (isso é chamado de “tipo” do sistema). Aqui, G(s) tem exatamente dois polos na origem por causa do fator s^{2} no denominador. Logo o sistema é do tipo 2. Em sistemas tipo 2:
  • erro para degrau é zero,
  • erro para rampa é zero,
  • erro para parábola é finito e dado por e_{\text{ss}}=\dfrac{1}{K_a}.
Portanto, a constante estática associada a entradas de terceira ordem (parábola) e relevante para um sistema tipo 2 é K_a. Então vamos calcular K_a e igualá-la a 10000.

Passo 3

Escrevemos a definição e substituímos G(s):
K_a=\lim_{s\to 0}s^{2}G(s).
Substituindo G(s),
K_a=\lim_{s\to 0}s^{2}\cdot\frac{K(s+2)(s+4)(s+6)}{s^{2}(s+5)(s+7)}.
Note que os fatores s^{2} multiplicando e dividindo se cancelam exatamente. Isso simplifica a expressão antes do limite:
K_a=\lim_{s\to 0}\frac{K(s+2)(s+4)(s+6)}{(s+5)(s+7)}.
Agora, para avaliar o limite quando s\to 0, podemos simplesmente substituir s=0 porque a expressão resultante é contínua em s=0:
K_a=K\cdot\frac{(0+2)(0+4)(0+6)}{(0+5)(0+7)}.

Passo 4

Calcule os produtos numéricos:
(0+2)(0+4)(0+6)=2\cdot4\cdot6=48,
(0+5)(0+7)=5\cdot7=35.
Logo
K_a=K\cdot\frac{48}{35}.

Passo 5

Agora impomos a condição do enunciado: queremos K_a=10000. Então
10000=K\cdot\frac{48}{35}.
Isolando K,
K=10000\cdot\frac{35}{48}.
Faça a multiplicação e simplificação:
K=\frac{10000\cdot 35}{48}=\frac{350000}{48}.
Dividindo numerador e denominador por 16 (uma simplificação conveniente),
K=\frac{21875}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (pra gente ficar tranquilo): calcular K_a com esse K:
K_a=\frac{48}{35}\cdot\frac{21875}{3}=\frac{48\cdot21875}{105}=10000,
confirmando que o valor encontrado é correto.

Resposta

\displaystyle K=\frac{21875}{3}\approx 7291{,}666\ldots

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