Para o sistema de retroação unitária
, determinar o valor de
que produza uma constante de erro estático de 10.000.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
que produza uma constante de erro estático igual a
para um sistema de retroação unitária com função de malha aberta
Informações dadas (lista clara):
- Sistema em malha unitária (retroação unitária).
- A função de transferência em malha aberta é
dada acima. - A constante de erro estático desejada vale
. - Não foram dadas outras restrições; devemos determinar
que atende essa condição.
Passo 2
O que significa “constante de erro estático” aqui e como a encontramos? Vou explicar o conceito passo a passo, sem pular nada, como se estivéssemos estudando para a prova.
- Em sistemas de controle em malha unitária, existem três constantes estáticas de interesse, dependendo do tipo de entrada:
- constante de posição
, útil para entrada degrau; - constante de velocidade
, útil para entrada rampa; - constante de aceleração
, útil para entrada parabólica.
- Essas constantes são definidas por limites envolvendo
quando :
Explicação: multiplicamos por
ou
porque cada polo em
(integrador) no denominador aumenta o tipo do sistema e muda a natureza do erro para entradas com menor derivada (degrau → rampa → parábola).
- Para escolher qual dessas constantes corresponde à “constante de erro estático” mencionada no enunciado, olhamos para o número de polos em
de (isso é chamado de “tipo” do sistema). Aqui, tem exatamente dois polos na origem por causa do fator no denominador. Logo o sistema é do tipo 2. Em sistemas tipo 2:
- erro para degrau é zero,
- erro para rampa é zero,
- erro para parábola é finito e dado por
.
Portanto, a constante estática associada a entradas de terceira ordem (parábola) e relevante para um sistema tipo 2 é
. Então vamos calcular
e igualá-la a
.
Passo 3
Escrevemos a definição e substituímos
:
Substituindo
,
Note que os fatores
multiplicando e dividindo se cancelam exatamente. Isso simplifica a expressão antes do limite:
Agora, para avaliar o limite quando
, podemos simplesmente substituir
porque a expressão resultante é contínua em
:
Passo 4
Calcule os produtos numéricos:
Logo
Passo 5
Agora impomos a condição do enunciado: queremos
. Então
Isolando
,
Faça a multiplicação e simplificação:
Dividindo numerador e denominador por
(uma simplificação conveniente),
Passo 6
Verificação rápida (pra gente ficar tranquilo): calcular
com esse
:
confirmando que o valor encontrado é correto.