Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz, determine o valor de K para o sistema se manter estável.
Passo 1
Dado:
Pergunta: determinar os valores de
para os quais o sistema em malha fechada é estável (ou seja, todas as raízes do polinômio característico têm parte real negativa).
Passo 2
Encontrar o polinômio característico da malha fechada. A equação característica é
. Multiplicando em denominador obtemos:
Agrupando os termos em potências de
:
Aqui os coeficientes do polinômio cúbico
são:
Passo 3
Relembrando o critério de Routh (a ideia importante): para um polinômio com coeficientes reais, montar a tabela de Routh e verificar o sinal dos elementos da primeira coluna. O sistema é estável se e somente se todos os elementos da primeira coluna forem estritamente positivos. Vou construir a tabela de Routh para o nosso polinômio cúbico.
Tabela (linhas correspondem a
):
Agora calculamos
pela fórmula da tabela de Routh (determinante dividido pelo elemento acima):
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Portanto a primeira coluna da tabela é, de cima para baixo:
Passo 5
Aplicar a condição de estabilidade (todos os elementos da primeira coluna positivos):
-
— sempre satisfeito. -
— sempre satisfeito. -
-
Combinando, obtemos:
Passo 6
Analisar os casos limites (boa prática para prova):
-
: o polinômio torna-se , há uma raiz em (marginal) — não é assintoticamente estável. -
: na tabela . Esse caso exige tratamento especial (linha de zeros). Formamos o polinômio auxiliar a partir da linha : . Suas raízes são — polos puramente imaginários, sistema marginalmente estável (oscilações não amortecidas). Portanto não é estritamente estável.
Conclusão: estabilidade estrita ocorre apenas quando
satisfaz
.