Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz, determine o valor de K para o sistema se manter estável.
\begin{gathered} G(s)=\frac{K(s+6)}{s^{3}+4 s^{2}+3 s} \\\ T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)} \end{gathered}

Passo 1

Dado:
G(s)=\frac{K(s+6)}{s^{3}+4 s^{2}+3 s}
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}
Pergunta: determinar os valores de K para os quais o sistema em malha fechada é estável (ou seja, todas as raízes do polinômio característico têm parte real negativa).

Passo 2

Encontrar o polinômio característico da malha fechada. A equação característica é 1+G(s)=0. Multiplicando em denominador obtemos:
s^{3}+4s^{2}+3s + K(s+6)=0.
Agrupando os termos em potências de s:
s^{3} + 4s^{2} + (3+K)s + 6K = 0.
Aqui os coeficientes do polinômio cúbico \,s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0 são:
a_{2}=4,\quad a_{1}=3+K,\quad a_{0}=6K.

Passo 3

Relembrando o critério de Routh (a ideia importante): para um polinômio com coeficientes reais, montar a tabela de Routh e verificar o sinal dos elementos da primeira coluna. O sistema é estável se e somente se todos os elementos da primeira coluna forem estritamente positivos. Vou construir a tabela de Routh para o nosso polinômio cúbico.
Tabela (linhas correspondem a s^{3},s^{2},s^{1},s^{0}):
\begin{array}{c|cc} s^{3} & 1 & 3+K\\[4pt]\hline s^{2} & 4 & 6K\\[4pt]\hline s^{1} & b_{1} & 0\\[4pt]\hline s^{0} & 6K & \end{array}
Agora calculamos b_{1} pela fórmula da tabela de Routh (determinante dividido pelo elemento acima):
b_{1}=\frac{4(3+K)-1\cdot(6K)}{4}.]

Passo 4

Calcular b_{1} passo a passo:
4(3+K)=12+4K,
12+4K-6K=12-2K,
b_{1}=\frac{12-2K}{4}=3-\frac{K}{2}.
Portanto a primeira coluna da tabela é, de cima para baixo:
1,\quad 4,\quad 3-\frac{K}{2},\quad 6K.

Passo 5

Aplicar a condição de estabilidade (todos os elementos da primeira coluna positivos):
  1. 1>0 — sempre satisfeito.
  2. 4>0 — sempre satisfeito.
  3. 3-\dfrac{K}{2}>0 \Rightarrow K<6.
  4. 6K>0 \Rightarrow K>0.
Combinando, obtemos:
0<K<6.

Passo 6

Analisar os casos limites (boa prática para prova):
  • K=0: o polinômio torna-se s^{3}+4s^{2}+3s=s(s^{2}+4s+3), há uma raiz em s=0 (marginal) — não é assintoticamente estável.
  • K=6: na tabela b_{1}=0. Esse caso exige tratamento especial (linha de zeros). Formamos o polinômio auxiliar a partir da linha s^{2}: 4s^{2}+36. Suas raízes são s=\pm 3j — polos puramente imaginários, sistema marginalmente estável (oscilações não amortecidas). Portanto K=6 não é estritamente estável.
Conclusão: estabilidade estrita ocorre apenas quando K satisfaz 0<K<6.

Resposta

0<K<6

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