a) a matriz de observabilidade e seu determinante, indicando se o sistema é observável ou não;
b) a matriz (A-L C) do observador e sua equação característica em função dos ganhos do observador;
c) os ganhos da realimentação de um observador 10 \times mais rápido que o sistema controlado. Considere que o sistema controlado deve apresentar um tempo de pico de 2 s e um tempo de assentamento de 10 s;
Passo 1
Enunciado e informações dadas — o que o problema pede\n
Temos a função de transferência
G(s)=\frac{s+4}{(s+8)(s+7)(s+6)}.
O que é pedido:
a) A matriz de observabilidade e seu determinante; indicar se o sistema é observável ou não.
b) A matriz (A-LC) do observador e a sua equação característica em função dos ganhos do observador.
c) Os ganhos do observador L quando o observador deve ser 10\times mais rápido que o sistema controlado, sabendo que o sistema controlado deve ter tempo de pico 2 s e tempo de assentamento 10 s.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado (usadas a seguir):
(s+8)(s+7)(s+6)=s^3+21s^2+146s+336.
O numerador (s+4) será escrito como polinômio próprio de grau menor que 3, isto é \;0\cdot s^2 + 1\cdot s + 4.
Passo 2
Escolha de realização (forma canónica controlável) e obtenção de A,B,C — aula curta sobre a forma canónica controlável\n
Explicação didática rápida: a forma canónica controlável é uma realização de estado em que a equação do denominador monico
s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3
se traduz na matriz A no formato “companion” e B com 1 na última linha. Para um numerador de ordem inferior b_0 s^2 + b_1 s + b_2 a saída tem C com os coeficientes em ordem invertida: C=[b_2\; b_1\; b_0]. Isso facilita relacionar os coeficientes do polinómio com as entradas da matriz.\n
Aplicando ao nosso caso: denominador monico tem coeficientes
(Comentário amigável: não te aperreies — escolhi essa forma porque é a mais direta para relacionar G(s) com A,B,C.)]
Passo 3
Construção da matriz de observabilidade e cálculo do determinante — passo a passo\n
Definição: para um sistema de ordem n com saída y=Cx, a matriz de observabilidade é
(Isto é exatamente a matriz do observador em função dos ganhos l_1,l_2,l_3.)]
Passo 5
Equação característica de (A-LC) em função dos ganhos — derivação passo a passo\n
A equação característica é \det(sI-(A-LC))=0. Para escrever o polinómio característico explicitamente, é conveniente usar as relações entre traço, menores principais e determinante para uma matriz 3\times3. Para M=A-LC vale:
\chi_M(s)=s^3 - (\mathrm{tr}\,M)\,s^2 + (\text{soma dos menores principais de ordem 2})\,s - \det(M).
Soma dos menores principais (já calculada passo a passo):
\text{soma} = 146 + 84l_1 +25 l_2 + l_3.
Determinante (cálculo mostrado nos passos intermédios) resulta em
\det(M) = -4\,(84 + 62 l_1 + 21 l_2 + l_3).
Usando essas expressões na forma expandida, a equação característica escrita com sinais normais (polinómio com coeficientes positivos quando L=0 retorna ao polinómio do sistema) fica
(Observação: ao colocar l_1=l_2=l_3=0 recuperamos s^3+21s^2+146s+336, que é o polinómio do sistema aberto, conferindo consistência.)
Passo 6
Escolha das posições desejadas dos polos do sistema controlado e justificação; cálculo dos polos do observador (10× mais rápidos)\n
Primeiro determinamos os polos dominantes desejados do sistema controlado a partir das especificações:
tempo de pico \;t_p=2 s, que para um par complexo subamortecido satisfaz \;t_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}, onde \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
tempo de assentamento (2%) \;t_s=10 s, que satisfaz aproximadamente \;t_s\approx \dfrac{4}{\zeta\omega_n}.
Escolha do terceiro polo do sistema controlado (motivo prático): para obter comportamento dominado pelo par complexo escolhemos o terceiro polo real mais à esquerda; uma regra prática é colocá‑lo algumas vezes (5×) mais à esquerda que a parte real dos polos dominantes. A parte real dos dominantes tem módulo 0{,}4; escolhendo um fator 5 tomamos o terceiro polo em
s_3=-5\cdot 0{,}4=-2.
(Isto é um compromisso prático: o terceiro polo está significativamente mais rápido que os dominantes, garantindo dominância do par complexo; poderíamos escolher 5–10× conforme preferência do projetista.)
Agora, o observador deve ser 10\times mais rápido que o sistema controlado: multiplicamos todos os polos desejados do sistema controlado por 10. Assim os polos desejados do observador são
Construímos o polinómio característico desejado do observador como o produto dos fatores correspondentes:
o fator quadrático do par complexo (com a=-4, b=15{,}708) é
(Obs.: mantive três casas decimais nas etapas, e números grandes resultam da multiplicação; para resolver os ganhos usamos esses coeficientes numéricos.)]
Passo 7
Cálculo dos ganhos do observador L\) por comparação de coeficientes (resolução linear)\n
Temos a expressão geral do polinómio de \(A-LC\) obtida no Passo 5:
\[s^3 + (4l_1 + l_2 +21)\,s^2 + (146 + 84l_1 + 25l_2 + l_3)\,s + (336 + 248l_1 +84 l_2 +4 l_3).
Igualamos coeficientes com o polinómio desejado do observador encontrado no Passo 6:
(Verificação rápida: substituindo l_1,l_2,l_3 nos coeficientes recuperamos numericamente o polinómio desejado, portanto os cálculos estão consistentes.)]
Resposta
(a) \displaystyle \mathcal{O}=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 0\\[4pt]
0 & 4 & 1\\[4pt]
-336 & -146 & -17
\end{pmatrix},\qquad \det(\mathcal{O})=-24. O sistema é observável. \n
(b) \displaystyle A-LC=
\begin{pmatrix}
-4l_1 & 1-l_1 & 0\\[4pt]
-4l_2 & -l_2 & 1\\[4pt]
-336-4l_3 & -146-l_3 & -21
\end{pmatrix}.\n
A equação característica em função de l_1,l_2,l_3 é