Considere o processo em malha aberta: (5pts)
Adote um controlador PID clássico:
Use os seguinte valores numéricos:
(1pt) (a) Esboce o Lugar das Raízes do sistema em malha aberta
.
(0.5pt) (b) Coloque
sob um denominador comum e apresente-o na forma racional
.
(0.5pt) (c) Forme a nova função de transferência em malha aberta:
Liste todos os polos e zeros do sistema em malha aberta
.
(1pt) (d) Esboce o novo lugar das raízes (com o acréscimos dos polos e zeros das ações P, I e D).
(1pt) (e) Analise o novo lugar das raízes:
- Explique como os zeros introduzidos pelo PID alteram o lugar das raízes.
- Discuta o papel do integrador e suas implicações em regime permanente.
(1pt) (f) Comente se os valores escolhidos de
e
parecem adequados para melhorar desempenho: reduzir overshoot, acelerar resposta; ou se aumentam o risco de oscilação/instabildiade.
(0.5pt) (b) Coloque
(0.5pt) (c) Forme a nova função de transferência em malha aberta:
(1pt) (d) Esboce o novo lugar das raízes (com o acréscimos dos polos e zeros das ações P, I e D).
(1pt) (e) Analise o novo lugar das raízes:
(1pt) (f) Comente se os valores escolhidos de
Passo 1
O exercício dá um processo em malha aberta e pede várias análises sobre o Lugar das Raízes e o efeito de um controlador PID fixo. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
- Função de processo em malha aberta:
- Controlador PID clássico:
- Valores numéricos fornecidos:
As perguntas (partes) são:
(a) Esboçar o Lugar das Raízes do sistema com (ou seja, considerando ganho escalar variando em
multiplicando
).
(b) Colocar sob um denominador comum e apresentar na forma racional
.
(c) Formar e listar todos os polos e zeros de
.
(d) Esboçar o novo Lugar das Raízes (agora com os polos e zeros do PID adicionados ao laço aberto).
(e) Analisar: como os zeros introduzidos pelo PID alteram o Lugar das Raízes; discutir o papel do integrador e implicações em regime permanente.
(f) Comentar se os valores parecem adequados para melhorar desempenho (reduzir overshoot, acelerar), ou se aumentam risco de oscilação/instabilidade.
(a) Esboçar o Lugar das Raízes do sistema com
(b) Colocar
(c) Formar
(d) Esboçar o novo Lugar das Raízes (agora com os polos e zeros do PID adicionados ao laço aberto).
(e) Analisar: como os zeros introduzidos pelo PID alteram o Lugar das Raízes; discutir o papel do integrador e implicações em regime permanente.
(f) Comentar se os valores
Observações importantes: os esboços pedidos são qualitativos (posição de polos/zeros, segmentos no eixo real, assíntotas, pontos de quebra) e as análises devem explicar o efeito dos termos P, I e D. Não começo a resolver ainda — só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
(a) Lugar das Raízes de
— análise e elementos para esboço.
- Polos e zeros de
:
- Número de ramos do Lugar das Raízes:
- Igual ao número de polos =
.
- Segmentos do eixo real onde o Lugar existe:
- Regra prática: um ponto real pertence ao Lugar se à sua direita houver um número ímpar de polos+zeros.
- Ordenando na reta real:
. - Testando intervalos: apenas o intervalo entre
e tem um número ímpar (1) de polos à direita. Logo o Lugar está no eixo real em:
- Assíntotas (para ramos que vão para
):
-
polos, zeros, então assíntotas. - Centroide das assíntotas:
- Ângulos das assíntotas:
Logo duas assíntotas verticais partindo de
(uma para cima, outra para baixo).
- Ponto de breakaway (onde dois ramos se encontram no eixo real):
- Para sistema simétrico com polos em
e , o ponto de quebra fica no ponto médio entre eles:
- Podemos verificar o ganho
correspondente: a condição característica para RL com ganho é
Para uma raiz dupla, o discriminante da quadrática
deve ser zero:
Então o encontro em
ocorre para
.
- Comportamento geral do esboço:
- Dois ramos começam nos polos
e . - No aumento de
, eles se aproximam no intervalo , se encontram em para e depois seguem verticalmente para ao longo das assíntotas (ângulos ).
Esses elementos permitem fazer um esboço qualitativo: polos em
e
com ramo real entre eles, breakaway em
para
, e depois ramos verticais a partir de
.
Passo 3
(b) Colocar
sob denominador comum:
- Colocando em forma racional com denominador
:
- Com os valores numéricos
:
Portanto
Passo 4
(c) Formar a nova função de transferência em malha aberta:
Listar polos e zeros de
:
- Polos: raízes do denominador
:
(Nota:
vem do integrador do PID.)
- Zeros: raízes do numerador
.
- Resolver a equação quadrática. Multiplicando por
para facilitar:
- Fórmula de Baskhara:
- Valores numéricos:
Portanto
Passo 5
(d) Esboço do novo Lugar das Raízes com
— análise qualitativa.
- Polos e zeros na reta real (ordem):
- Em ordem crescente (da esquerda para a direita) temos:
- Número de ramos do Lugar:
- Número de polos
→ 3 ramos.
- Segmentos do eixo real onde o Lugar existe (contagem polos+zeros à direita ímpar):
- Intervalos testados dão que os segmentos reais com Lugar são:
-
— tem número ímpar de polos+zeros à direita (5 → ímpar), logo Lugar presente. -
— como antes, Lugar presente. -
— Lugar presente.
-
- Nos intervalos
e não há Lugar no eixo real (contagem dá par).
- Assíntotas:
-
, → assíntota. - Centroide:
(Exatamente: soma polos
, soma zeros
, centroide
.)
- Ângulo da única assíntota:
Isto significa: a única assíntota parte do ponto real
e vai para a esquerda ao longo do eixo real até
.
- Interpretação do formato:
- Temos três ramos iniciando nos polos
. - Dois desses ramos irão terminar nos zeros em
e em (cada zero atrai um ramo). - O terceiro ramo (como há mais polos que zeros) irá para a assíntota que vai de
para na direção do ângulo . Em termos práticos, esse ramo atravessará o eixo real à direita de todos os polos/zeros e seguirá para (o desenho mostra ele vindo da direita em direção a ). - Nos intervalos reais identificados acima temos comportamento alternado de presença/ausência do Lugar, e haverá pontos de breakaway/reentry nos intervalos
e dependendo do ganho. Os zeros atraem ramos para suas posições, deixando o terceiro ramo indo para pela assíntota a partir de .
- Observação prática para esboço:
- O zero em
está bem próximo do eixo imaginário em relação aos polos em , então ele tende a “puxar” um dos polos (especialmente o polo em ou em ) para a esquerda, aumentando amortecimento dos modos dominantes. - O zero mais à esquerda
atrai um ramo distante, pouco influenciando os modos dominantes.
Com esses pontos é possível desenhar qualitativamente o novo Lugar: três ramos saindo de
, dois terminando nos zeros mencionados, um indo para a assíntota horizontal que parte de
para a esquerda.
Passo 6
(e) Análise qualitativa: efeitos dos zeros do PID e papel do integrador.
- Como os zeros introduzidos pelo PID alteram o Lugar das Raízes:
- O PID (na forma racional usada) introduz dois zeros no plano
que são raízes do polinômio . Esses zeros: - Atraem ramos do Lugar das Raízes (cada zero “puxa” um ramo que, para certo ganho, termina em um zero finito).
- Se um zero estiver mais à direita (próximo ao eixo imaginário), ele pode deslocar o lugar das raízes dominantes para posições mais à esquerda (melhor amortecimento) ou, dependendo da configuração, pode também empurrar ramos para a região de menor amortecimento. No nosso caso um zero está em
(próximo ao polo em e ao polo em ), portanto esse zero tem influência forte sobre os polos dominantes e tende a deslocá-los para a esquerda, aumentando amortecimento e reduzindo overshoot. - O outro zero em
está bem à esquerda e influencia principalmente modos mais rápidos (menos relevantes para o desempenho de curta e média frequência).
- Em resumo: zeros estáveis (em parte real negativa) geralmente melhoram amortecimento e desempenho (quando bem posicionados), porque desviam trajetórias de raízes para a região esquerda; zeros instáveis (RHP) fariam o contrário e são perigosos — aqui os zeros são ambos em LHP, portanto benéficos.
- Papel do integrador (
no controlador):
- O integrador adiciona um polo em
no laço aberto (aqui apareceu explicitamente como polo em ). - Em termos de regime permanente:
- A presença do integrador aumenta o tipo do sistema (neste caso o sistema passa a ser do tipo 1), o que garante erro em regime permanente nulo para referências em degrau (step). Formalmente, usando o Teorema do Valor Final para erro com malha unitária:
e como tem termo que tende a quando , então e . - Portanto o integrador elimina o erro em regime permanente para degrau.
- A presença do integrador aumenta o tipo do sistema (neste caso o sistema passa a ser do tipo 1), o que garante erro em regime permanente nulo para referências em degrau (step). Formalmente, usando o Teorema do Valor Final para erro com malha unitária:
- Em termos de estabilidade/dinâmica:
- O integrador adiciona fase atrasada (lag) e reduz margem de fase, podendo tornar o sistema mais suscetível a oscilações se o ganho global for alto.
- Por isso costuma-se contrabalançar o efeito do integrador com ação derivativa (que adiciona avanço de fase) e ajuste cuidadoso do ganho proporcional/integral.
Passo 7
(f) Comentário sobre se os valores escolhidos
parecem adequados.
- Observações qualitativas sobre os ganhos dados:
- Com
já temos integrador ativo; assim esperamos erro em regime permanente próximo de zero para degrau. Isso é bom para precisão estacionária. -
é um ganho proporcional moderado: tende a aumentar velocidade de resposta e reduzir erro transitório, mas sozinho poderia aumentar overshoot se muito grande. -
é um termo derivativo presente, porém de valor moderado. A derivada fornece avanço de fase (ajuda a amortecer e reduzir overshoot) e ajuda a compensar parte do efeito vil do integrador que reduz margem de fase.
- Avaliação conjunta (intuitiva):
- O zero próximo de
(resultante da combinação numérica) é favorável: ele está do lado esquerdo próximo aos polos dominantes e tende a deslocar os modos para a esquerda, aumentando o amortecimento e reduzindo overshoot. Portanto a presença desse zero sugere melhora do desempenho transitório. - O integrador garante erro nulo, mas tende a diminuir margem de fase. Se o ganho global fosse aumentado muito, o sistema poderia começar a oscilar. O termo derivativo (aqui
) ajuda a recuperar margem de fase e reduzir overshoot. - Assim, os valores dados parecem um compromisso razoável: integrador suficientemente forte para eliminar erro estacionário (
), proporcional moderado ( ) para acelerar a resposta e derivativo pequeno ( ) para melhorar amortecimento. Não parecem excessivos a ponto de garantir instabilidade imediata, mas também não são conservadores demais.
- Riscos e recomendações:
- Risco de oscilação: existe risco se aumentarmos muito
ou sem aumentar porque o integrador reduz a margem de fase; portanto deve-se avaliar margem de ganho/fase (Bode/Nyquist) ou calcular polos do fecho de malha fechada para o ganho desejado. - Recomenda-se verificar numericamente (simulação ou cálculo dos polos do sistema em malha fechada) o lugar exato das raízes para o ganho que se pretende usar no laço fechado. Se o objetivo é reduzir overshoot e acelerar resposta, pode ser preciso aumentar
um pouco e ajustar para evitar picos e oscilações.
Resposta
(a) Polos de
:
. Lugar no eixo real apenas para
. Breakaway em
para
. Assíntotas: duas verticais em
(ângulos
).
(b) .
(c) . Polos:
. Zeros:
.
(d) Novo Lugar: três ramos (polos em ); ramos reais em
,
,
; dois ramos terminam nos zeros em
e
; um ramo vai para a assíntota única (
) partindo do centroide
com ângulo
(segue para
).
(e) Zeros do PID atraem ramos do Lugar das Raízes e podem deslocar polos dominantes para a esquerda (melhor amortecimento); o zero em tende a melhorar amortecimento/ reduzir overshoot; o zero em
age sobre dinâmicas mais rápidas. O integrador (polo em
) torna o sistema do tipo 1, garantindo erro em regime permanente nulo para degrau (final value theorem), mas reduz margem de fase e pode aumentar suscetibilidade a oscilações se os ganhos forem excessivos.
(f) Julgamento dos ganhos : parecem um compromisso razoável —
suficiente para eliminar erro estacionário,
moderado para acelerar,
pequeno para reduzir overshoot; entretanto existe risco de oscilação se
ou
forem aumentados sem ajustar
. Recomenda-se verificar margens de estabilidade (Bode/Nyquist) ou simular polos do laço fechado para ajustes finos.
(b)
(c)
(d) Novo Lugar: três ramos (polos em
(e) Zeros do PID atraem ramos do Lugar das Raízes e podem deslocar polos dominantes para a esquerda (melhor amortecimento); o zero em
(f) Julgamento dos ganhos