Considere o processo em malha aberta: (5pts)
G=\frac{1}{(s+1)(s+3)}
Adote um controlador PID clássico:
C(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}+K_{d} s .
Use os seguinte valores numéricos:
K_{p}=3 ; \quad K_{i}=2 ; \quad K_{d}=0.5
(1pt) (a) Esboce o Lugar das Raízes do sistema em malha aberta G(s).
(0.5pt) (b) Coloque C(s) sob um denominador comum e apresente-o na forma racional \frac{N_{c}(s)}{D_{c}(s)}.
(0.5pt) (c) Forme a nova função de transferência em malha aberta:
G_{M A}(s)=C(s) G(s)
Liste todos os polos e zeros do sistema em malha aberta G_{M A}.
(1pt) (d) Esboce o novo lugar das raízes (com o acréscimos dos polos e zeros das ações P, I e D).
(1pt) (e) Analise o novo lugar das raízes:
  • Explique como os zeros introduzidos pelo PID alteram o lugar das raízes.
  • Discuta o papel do integrador e suas implicações em regime permanente.
    (1pt) (f) Comente se os valores escolhidos de K_{P}, K_{D} e K_{I} parecem adequados para melhorar desempenho: reduzir overshoot, acelerar resposta; ou se aumentam o risco de oscilação/instabildiade.

Passo 1

O exercício dá um processo em malha aberta e pede várias análises sobre o Lugar das Raízes e o efeito de um controlador PID fixo. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Função de processo em malha aberta:
G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+3)}
  • Controlador PID clássico:
C(s)=K_{p}+\frac{K_{i}}{s}+K_{d}s
  • Valores numéricos fornecidos:
K_{p}=3,\qquad K_{i}=2,\qquad K_{d}=0{,}5
As perguntas (partes) são:
(a) Esboçar o Lugar das Raízes do sistema com G(s) (ou seja, considerando ganho escalar variando em K multiplicando G).
(b) Colocar C(s) sob um denominador comum e apresentar na forma racional \dfrac{N_{c}(s)}{D_{c}(s)}.
(c) Formar G_{MA}(s)=C(s)G(s) e listar todos os polos e zeros de G_{MA}.
(d) Esboçar o novo Lugar das Raízes (agora com os polos e zeros do PID adicionados ao laço aberto).
(e) Analisar: como os zeros introduzidos pelo PID alteram o Lugar das Raízes; discutir o papel do integrador e implicações em regime permanente.
(f) Comentar se os valores K_p,K_i,K_d parecem adequados para melhorar desempenho (reduzir overshoot, acelerar), ou se aumentam risco de oscilação/instabilidade.
Observações importantes: os esboços pedidos são qualitativos (posição de polos/zeros, segmentos no eixo real, assíntotas, pontos de quebra) e as análises devem explicar o efeito dos termos P, I e D. Não começo a resolver ainda — só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

(a) Lugar das Raízes de \;G(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+3)} — análise e elementos para esboço.
  1. Polos e zeros de G(s):
\text{Polos: } s=-1,\; s=-3. \qquad \text{Zeros: nenhum (nenhum zero finito).}
  1. Número de ramos do Lugar das Raízes:
  • Igual ao número de polos = 2.
  1. Segmentos do eixo real onde o Lugar existe:
  • Regra prática: um ponto real pertence ao Lugar se à sua direita houver um número ímpar de polos+zeros.
  • Ordenando na reta real: -\infty,\; -3,\; -1,\; +\infty.
  • Testando intervalos: apenas o intervalo entre -3 e -1 tem um número ímpar (1) de polos à direita. Logo o Lugar está no eixo real em:
-3 < \Re(s) < -1.
  1. Assíntotas (para ramos que vão para \infty):
  • p=2 polos, z=0 zeros, então p-z=2 assíntotas.
  • Centroide das assíntotas:
\sigma_a=\frac{\sum \text{polos}-\sum \text{zeros}}{p-z}=\frac{(-1)+(-3)-0}{2}=\frac{-4}{2}=-2.
  • Ângulos das assíntotas:
\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{p-z}=\frac{(2k+1)\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=\pm 90^\circ.
Logo duas assíntotas verticais partindo de \Re(s)=-2 (uma para cima, outra para baixo).
  1. Ponto de breakaway (onde dois ramos se encontram no eixo real):
  • Para sistema simétrico com polos em -1 e -3, o ponto de quebra fica no ponto médio entre eles:
s=-2.
  • Podemos verificar o ganho K correspondente: a condição característica para RL com ganho K é
1+K\,G(s)=0\quad\Rightarrow\quad (s+1)(s+3)+K=0.
Para uma raiz dupla, o discriminante da quadrática s^2+4s+3+K=0 deve ser zero:
\Delta=4^2-4(3+K)=16-12-4K=4-4K=0\;\Rightarrow\;K=1.
Então o encontro em s=-2 ocorre para K=1.
  1. Comportamento geral do esboço:
  • Dois ramos começam nos polos -1 e -3.
  • No aumento de K, eles se aproximam no intervalo (-3,-1), se encontram em -2 para K=1 e depois seguem verticalmente para \pm j\infty ao longo das assíntotas (ângulos \pm 90^\circ).
Esses elementos permitem fazer um esboço qualitativo: polos em -1 e -3 com ramo real entre eles, breakaway em -2 para K=1, e depois ramos verticais a partir de -2.

Passo 3

(b) Colocar C(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_d s sob denominador comum:
  1. Colocando em forma racional com denominador s:
C(s)=\frac{K_p s}{s}+\frac{K_i}{s}+\frac{K_d s^2}{s}=\frac{K_d s^2+K_p s+K_i}{s}.
  1. Com os valores numéricos K_p=3,\;K_i=2,\;K_d=0{,}5:
N_c(s)=0{,}5\,s^2+3\,s+2,\qquad D_c(s)=s.
Portanto
C(s)=\frac{0{,}5\,s^2+3s+2}{s}.

Passo 4

(c) Formar a nova função de transferência em malha aberta:
G_{MA}(s)=C(s)G(s)=\frac{0{,}5\,s^2+3s+2}{s}\cdot\frac{1}{(s+1)(s+3)}=\frac{0{,}5\,s^2+3s+2}{s(s+1)(s+3)}.
Listar polos e zeros de G_{MA}(s):
  1. Polos: raízes do denominador s(s+1)(s+3):
\boxed{\text{Polos: } s=0,\; s=-1,\; s=-3.}
(Nota: s=0 vem do integrador do PID.)
  1. Zeros: raízes do numerador 0{,}5\,s^2+3s+2.
  • Resolver a equação quadrática. Multiplicando por 2 para facilitar:
s^2+6s+4=0.
  • Fórmula de Baskhara:
s=\frac{-6\pm\sqrt{36-16}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{20}}{2}=-3\pm\sqrt{5}.
  • Valores numéricos:
s_1=-3+\sqrt{5}\approx -0{,}7639,\qquad s_2=-3-\sqrt{5}\approx -5{,}2361.
Portanto
\boxed{\text{Zeros: } s\approx -0{,}7639,\; s\approx -5{,}2361.}

Passo 5

(d) Esboço do novo Lugar das Raízes com G_{MA}(s)=\dfrac{0{,}5s^2+3s+2}{s(s+1)(s+3)} — análise qualitativa.
  1. Polos e zeros na reta real (ordem):
  • Em ordem crescente (da esquerda para a direita) temos:
-\,\infty\;\cdots\; -5{,}2361\\ \text{(zero)},\; -3\\ \text{(polo)},\; -1\\ \text{(polo)},\; -0{,}7639\\ \text{(zero)},\; 0\\ \text{(polo)}.
  1. Número de ramos do Lugar:
  • Número de polos p=3 → 3 ramos.
  1. Segmentos do eixo real onde o Lugar existe (contagem polos+zeros à direita ímpar):
  • Intervalos testados dão que os segmentos reais com Lugar são:
    • (-\infty,\,-5{,}2361) — tem número ímpar de polos+zeros à direita (5 → ímpar), logo Lugar presente.
    • (-3,\,-1) — como antes, Lugar presente.
    • (-0{,}7639,\;0) — Lugar presente.
  • Nos intervalos (-5{,}2361,-3) e (-1,-0{,}7639) não há Lugar no eixo real (contagem dá par).
  1. Assíntotas:
  • p=3, z=2 p-z=1 assíntota.
  • Centroide:
\sigma_a=\frac{\sum \text{polos}-\sum \text{zeros}}{p-z}=\frac{(0-1-3)-(-0{,}7639-5{,}2361)}{1}=\frac{-4-(-6)}{1}=2.
(Exatamente: soma polos -4, soma zeros -6, centroide \sigma_a=2.)
  • Ângulo da única assíntota:
\theta=\frac{(2k+1)\pi}{1}=\pi\quad(\text{i.e. }180^\circ).
Isto significa: a única assíntota parte do ponto real s=2 e vai para a esquerda ao longo do eixo real até -\infty.
  1. Interpretação do formato:
  • Temos três ramos iniciando nos polos s=0,\,-1,\,-3.
  • Dois desses ramos irão terminar nos zeros em -5{,}2361 e em -0{,}7639 (cada zero atrai um ramo).
  • O terceiro ramo (como há mais polos que zeros) irá para a assíntota que vai de s=2 para -\infty na direção do ângulo 180^\circ. Em termos práticos, esse ramo atravessará o eixo real à direita de todos os polos/zeros e seguirá para -\infty (o desenho mostra ele vindo da direita em direção a -\infty).
  • Nos intervalos reais identificados acima temos comportamento alternado de presença/ausência do Lugar, e haverá pontos de breakaway/reentry nos intervalos (-3,-1) e (-0{,}7639,0) dependendo do ganho. Os zeros atraem ramos para suas posições, deixando o terceiro ramo indo para -\infty pela assíntota a partir de +2.
  1. Observação prática para esboço:
  • O zero em -0{,}764 está bem próximo do eixo imaginário em relação aos polos em -1,0, então ele tende a “puxar” um dos polos (especialmente o polo em s=0 ou em -1) para a esquerda, aumentando amortecimento dos modos dominantes.
  • O zero mais à esquerda -5{,}236 atrai um ramo distante, pouco influenciando os modos dominantes.
Com esses pontos é possível desenhar qualitativamente o novo Lugar: três ramos saindo de 0,-1,-3, dois terminando nos zeros mencionados, um indo para a assíntota horizontal que parte de +2 para a esquerda.

Passo 6

(e) Análise qualitativa: efeitos dos zeros do PID e papel do integrador.
  1. Como os zeros introduzidos pelo PID alteram o Lugar das Raízes:
  • O PID (na forma racional usada) introduz dois zeros no plano s que são raízes do polinômio N_c(s)=K_d s^2+K_p s+K_i. Esses zeros:
    • Atraem ramos do Lugar das Raízes (cada zero “puxa” um ramo que, para certo ganho, termina em um zero finito).
    • Se um zero estiver mais à direita (próximo ao eixo imaginário), ele pode deslocar o lugar das raízes dominantes para posições mais à esquerda (melhor amortecimento) ou, dependendo da configuração, pode também empurrar ramos para a região de menor amortecimento. No nosso caso um zero está em s\approx -0{,}764 (próximo ao polo em -1 e ao polo em 0), portanto esse zero tem influência forte sobre os polos dominantes e tende a deslocá-los para a esquerda, aumentando amortecimento e reduzindo overshoot.
    • O outro zero em s\approx -5{,}236 está bem à esquerda e influencia principalmente modos mais rápidos (menos relevantes para o desempenho de curta e média frequência).
  • Em resumo: zeros estáveis (em parte real negativa) geralmente melhoram amortecimento e desempenho (quando bem posicionados), porque desviam trajetórias de raízes para a região esquerda; zeros instáveis (RHP) fariam o contrário e são perigosos — aqui os zeros são ambos em LHP, portanto benéficos.
  1. Papel do integrador ( 1/s no controlador):
  • O integrador adiciona um polo em s=0 no laço aberto (aqui apareceu explicitamente como polo em s=0).
  • Em termos de regime permanente:
    • A presença do integrador aumenta o tipo do sistema (neste caso o sistema passa a ser do tipo 1), o que garante erro em regime permanente nulo para referências em degrau (step). Formalmente, usando o Teorema do Valor Final para erro com malha unitária: e_{ss}=\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s)=\lim_{s\to 0}\frac{1}{1+L(s)}\cdot 1,e como L(s)=C(s)G(s) tem termo \dfrac{K_i}{s}\cdot G(0) que tende a \infty quando s\to0, então 1/(1+L(s))\to0 e e_{ss}=0.
    • Portanto o integrador elimina o erro em regime permanente para degrau.
  • Em termos de estabilidade/dinâmica:
    • O integrador adiciona fase atrasada (lag) e reduz margem de fase, podendo tornar o sistema mais suscetível a oscilações se o ganho global for alto.
    • Por isso costuma-se contrabalançar o efeito do integrador com ação derivativa (que adiciona avanço de fase) e ajuste cuidadoso do ganho proporcional/integral.

Passo 7

(f) Comentário sobre se os valores escolhidos K_p=3,\;K_i=2,\;K_d=0{,}5 parecem adequados.
  1. Observações qualitativas sobre os ganhos dados:
  • Com K_i=2 já temos integrador ativo; assim esperamos erro em regime permanente próximo de zero para degrau. Isso é bom para precisão estacionária.
  • K_p=3 é um ganho proporcional moderado: tende a aumentar velocidade de resposta e reduzir erro transitório, mas sozinho poderia aumentar overshoot se muito grande.
  • K_d=0{,}5 é um termo derivativo presente, porém de valor moderado. A derivada fornece avanço de fase (ajuda a amortecer e reduzir overshoot) e ajuda a compensar parte do efeito vil do integrador que reduz margem de fase.
  1. Avaliação conjunta (intuitiva):
  • O zero próximo de -0{,}764 (resultante da combinação numérica) é favorável: ele está do lado esquerdo próximo aos polos dominantes e tende a deslocar os modos para a esquerda, aumentando o amortecimento e reduzindo overshoot. Portanto a presença desse zero sugere melhora do desempenho transitório.
  • O integrador garante erro nulo, mas tende a diminuir margem de fase. Se o ganho global fosse aumentado muito, o sistema poderia começar a oscilar. O termo derivativo (aqui 0{,}5) ajuda a recuperar margem de fase e reduzir overshoot.
  • Assim, os valores dados parecem um compromisso razoável: integrador suficientemente forte para eliminar erro estacionário ( K_i=2), proporcional moderado ( K_p=3) para acelerar a resposta e derivativo pequeno ( K_d=0{,}5) para melhorar amortecimento. Não parecem excessivos a ponto de garantir instabilidade imediata, mas também não são conservadores demais.
  1. Riscos e recomendações:
  • Risco de oscilação: existe risco se aumentarmos muito K_p ou K_i sem aumentar K_d porque o integrador reduz a margem de fase; portanto deve-se avaliar margem de ganho/fase (Bode/Nyquist) ou calcular polos do fecho de malha fechada para o ganho desejado.
  • Recomenda-se verificar numericamente (simulação ou cálculo dos polos do sistema em malha fechada) o lugar exato das raízes para o ganho que se pretende usar no laço fechado. Se o objetivo é reduzir overshoot e acelerar resposta, pode ser preciso aumentar K_d um pouco e ajustar K_p para evitar picos e oscilações.

Resposta

(a) Polos de G(s): s=-1,\;s=-3. Lugar no eixo real apenas para -3<\Re(s)<-1. Breakaway em s=-2 para K=1. Assíntotas: duas verticais em \Re(s)=-2 (ângulos \pm90^\circ).
(b) \displaystyle C(s)=\frac{0{,}5\,s^2+3s+2}{s}.
(c) \displaystyle G_{MA}(s)=\frac{0{,}5s^2+3s+2}{s(s+1)(s+3)}. Polos: s=0,\;s=-1,\;s=-3. Zeros: s=-3\pm\sqrt{5}\approx -0{,}7639,\;-5{,}2361.
(d) Novo Lugar: três ramos (polos em 0,-1,-3); ramos reais em (-\infty,-5{,}2361), (-3,-1), (-0{,}7639,0); dois ramos terminam nos zeros em -5{,}2361 e -0{,}7639; um ramo vai para a assíntota única ( p-z=1) partindo do centroide \sigma_a=2 com ângulo 180^\circ (segue para -\infty).
(e) Zeros do PID atraem ramos do Lugar das Raízes e podem deslocar polos dominantes para a esquerda (melhor amortecimento); o zero em -0{,}764 tende a melhorar amortecimento/ reduzir overshoot; o zero em -5{,}236 age sobre dinâmicas mais rápidas. O integrador (polo em s=0) torna o sistema do tipo 1, garantindo erro em regime permanente nulo para degrau (final value theorem), mas reduz margem de fase e pode aumentar suscetibilidade a oscilações se os ganhos forem excessivos.
(f) Julgamento dos ganhos K_p=3,\;K_i=2,\;K_d=0{,}5: parecem um compromisso razoável — K_i suficiente para eliminar erro estacionário, K_p moderado para acelerar, K_d pequeno para reduzir overshoot; entretanto existe risco de oscilação se K_p ou K_i forem aumentados sem ajustar K_d. Recomenda-se verificar margens de estabilidade (Bode/Nyquist) ou simular polos do laço fechado para ajustes finos.

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