Para um sistema com a função de transferência abaixo, encontre:
G(s)=\frac{s+5}{(s+4)(s+3)(s+2)}
a) a matriz de controlabilidade e seu determinante, indicando se o sistema é controlável ou não;
b) a matriz ( A-B K ) do controlador e a equação característica em função dos ganhos do controlador;
c) os ganhos da realimentação tal que o sistema controlado apresente um tempo de pico de 1 s e um tempo de assentamento de 5 s;

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou deixar tudo bem claro para a gente não se perder):
Temos a função de transferência
G(s)=\frac{s+5}{(s+4)(s+3)(s+2)}.
O que é pedido:
  • (a) A matriz de controlabilidade e seu determinante; indicar se o sistema é controlável.
  • (b) A matriz (A-BK) do controlador e a equação característica em função dos ganhos do controlador k_1,k_2,k_3.
  • (c) Encontrar os ganhos de realimentação K=[k_1\; k_2\; k_3] tal que o sistema controlado apresente tempo de pico t_p=1\\ \text{s} e tempo de assentamento t_s=5\\ \text{s}.
Informações extras que vou usar (estão todas no enunciado):
  • O denominador está em fatores: (s+4)(s+3)(s+2).
  • O numerador é s+5 (grau 1, estritamente próprio pois grau denom = 3).
Não começa a resolução ainda — agora que está claro o que foi dado e o que se pede, passo à construção do modelo em forma de espaço de estados e à resolução.

Passo 2

Obter os coeficientes do polinômio do denominador e escrever o sistema na forma canônica controlável (companion).
Primeiro multiplico os fatores do denominador para identificar os coeficientes do polinômio:
(s+4)(s+3)(s+2)=(s+4)(s^2+5s+6)=s^3+9s^2+26s+24.
Logo o denominador é s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3 com
a_1=9,\quad a_2=26,\quad a_3=24.
O numerador s+5 pode ser visto como polynomial de grau até 2 (com coeficiente do s^2 igual a zero):
\text{numerador} = 0\cdot s^2 + 1\cdot s + 5.
Na forma canônica controlável (companion), para um sistema de ordem n=3 escolhemos a realização
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] - a_3 & - a_2 & - a_1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}b_0 & b_1 & b_2\end{pmatrix}
onde, por convenção neste companion, o numerador escrito como b_0 s^2 + b_1 s + b_2 fica mapeado diretamente em C=[b_0\; b_1\; b_2].
Para o nosso caso:
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -24 & -26 & -9 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix}0 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Vou usar essa realização para calcular controlabilidade e projetar o realimentador.]

Passo 3

Construir a matriz de controlabilidade \mathcal{C}=[B\;\;AB\;\;A^2B] e calcular os vetores intermediários AB e A^2B.
Primeiro:
B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calculo AB. Multiplicando A por B (ou simplesmente pegando a terceira coluna de A):
AB=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-9\end{pmatrix}.
Agora A^2B = A(AB). Faço a multiplicação componente a componente:
A^2B = A\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot(-9)\\[4pt] 0\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot(-9)\\[4pt] -24\cdot0 + (-26)\cdot1 + (-9)\cdot(-9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-9\\[4pt]55\end{pmatrix}.
Portanto a matriz de controlabilidade é
\mathcal{C}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -9\\[4pt] 1 & -9 & 55 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de \mathcal{C} (para checar controlabilidade).
Calculo o determinante expandindo pela primeira linha (ou usando qualquer método):
\det(\mathcal{C}) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -9\\[4pt] 1 & -9 & 55 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha (apenas o terceiro elemento contribui):
\det(\mathcal{C}) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & -9 \end{vmatrix} = 1\cdot(0\cdot(-9) - 1\cdot 1) = -1.
Como \det(\mathcal{C}) = -1 \neq 0, a matriz de controlabilidade tem posto máximo e o sistema é controlável.]

Passo 5

Definir o realimentador de estados e escrever A-BK.
Usamos realimentação de estados na forma
u = -K x,\quad \text{com }K=\begin{pmatrix}k_1 & k_2 & k_3\end{pmatrix}.
A matriz fechada em malha (matriz dinâmica do sistema controlado) é
A_{cl}=A-BK.
Como B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} e K é linha, o produto BK é a matriz cujas primeiras duas linhas são zero e a terceira linha é K. Então
A-BK= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -24 & -26 & -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] k_1 & k_2 & k_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -24-k_1 & -26-k_2 & -9-k_3 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar a equação característica em função de k_1,k_2,k_3.
Para a forma companion, a equação característica de A_{cl}=A-BK tem a forma
\det\bigl(sI - (A-BK)\bigr)=s^3 + a_1' s^2 + a_2' s + a_3',
onde, comparando com a estrutura do companion (última linha [-a_3'\; -a_2'\; -a_1']), obtemos
a_1' = 9 + k_3,\qquad a_2' = 26 + k_2,\qquad a_3' = 24 + k_1.
Portanto a equação característica fechada é
\boxed{\,s^3 + (9 + k_3)\,s^2 + (26 + k_2)\,s + (24 + k_1)=0\,.}
Explicação curta do porquê: na forma companion os coeficientes do polinômio fechado aparecem diretamente relacionados aos sinais/opostos dos elementos da última linha de A_{cl}.

Passo 7

Relacionar as especificações de tempo de resposta ( t_p e t_s) com parâmetros de um pólo dominante complexo (segundo ordem aproximado).
Para um par de pólos complexos dominantes com parâmetros naturais (para um sistema de segunda ordem):
  • tempo de pico
t_p=\frac{\pi}{\omega_d},
onde \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} é a frequência amortecida;
  • tempo de assentamento (critério 2%) aproximado
t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}.
Aqui nos pediram t_p=1\\ \text{s} e t_s=5\\ \text{s}. Vou assumir que queremos que um par conjugado complexo dominante satisfaça essas relações (e que o terceiro pólo seja rápido o suficiente para não atrapalhar).
Primeiro uso t_p=1 para obter \omega_d:
\omega_d = \frac{\pi}{t_p} = \pi.
Do t_s tenho
\zeta \omega_n = \frac{4}{t_s} = \frac{4}{5}=0{,}8.
Agora relaciono \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} com \zeta\omega_n. Substituo \omega_n=\dfrac{0{,}8}{\zeta} em \omega_d:
\omega_d = \frac{0{,}8}{\zeta}\sqrt{1-\zeta^2}=\pi.
Isolo \zeta ao quadrado: elevando ao quadrado,
\left(0{,}8\right)^2 (1-\zeta^2) = \pi^2 \zeta^2.
Ou
0{,}64 - 0{,}64\zeta^2 = \pi^2 \zeta^2 \quad\Rightarrow\quad 0{,}64 = \zeta^2(0{,}64 + \pi^2).
Logo
\zeta^2 = \frac{0{,}64}{0{,}64+\pi^2}.
Calculo numérico:
\pi^2 \approx 9{,}8696,\qquad 0{,}64+\pi^2 \approx 10{,}5096,
\zeta^2 \approx \frac{0{,}64}{10{,}5096}\approx 0{,}0609, \quad\Rightarrow\quad \zeta \approx 0{,}2468.
Então \omega_n = \dfrac{0{,}8}{\zeta} \approx \dfrac{0{,}8}{0{,}2468}\approx 3{,}242. Verificação rápida:
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\approx 3{,}242\cdot\sqrt{1-0{,}0609}\approx 3{,}242\cdot0{,}9692\approx 3{,}144\approx\pi,
ok (compatível).
Portanto o par dominante desejado corresponde aproximadamente aos pólos
s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_d = -0{,}8 \pm j\pi.

Passo 8

Escolher o terceiro pólo e construir o polinômio desejado de terceira ordem.
Como o sistema é de terceira ordem, vamos escolher o par dominante acima e colocar um terceiro pólo real mais à esquerda (mais rápido) para que ele não domine a dinâmica. Uma escolha típica razoável e simples é colocar o terceiro pólo em s_3=-5 (essa escolha torna-o mais rápido que os dominantes reais -0{,}8). Essa escolha é um compromisso prático: qualquer valor suficientemente negativo (por exemplo -5, -8, -10) funcionaria; aqui uso -5 para contas simples e porque está a uma ordem de magnitude que o torna não dominante.
Construo o polinômio desejado como produto:
(s - s_1)(s - s_2)(s - s_3) = \bigl(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2\bigr)(s - s_3).
Usando os valores numéricos:
2\zeta\omega_n = 2\cdot 0{,}8 = 1{,}6, \qquad \omega_n^2 \approx 10{,}5096.
Multiplico pelo fator (s+5) já que s_3=-5:
(s^2 + 1{,}6s + 10{,}5096)(s+5).
Faço a multiplicação termo a termo:
  • Coeficiente de s^3: 1.
  • Coeficiente de s^2: 1{,}6 + 5 = 6{,}6.
  • Coeficiente de s: 10{,}5096 + 1{,}6\cdot 5 = 10{,}5096 + 8 = 18{,}5096.
  • Termo constante: 10{,}5096\cdot 5 = 52{,}548.
Então o polinômio desejado é aproximadamente
s^3 + 6{,}6\,s^2 + 18{,}5096\,s + 52{,}548.

Passo 9

Igualar os coeficientes do polinômio desejado com a equação característica em função de k_i e resolver para k_1,k_2,k_3.
Recordando a equação característica em função dos ganhos (do Passo 6):
s^3 + (9 + k_3)\,s^2 + (26 + k_2)\,s + (24 + k_1).
Igualando coeficiente a coeficiente com o polinômio desejado obtido:
9 + k_3 = 6{,}6,\qquad 26 + k_2 = 18{,}5096,\qquad 24 + k_1 = 52{,}548.
Resolvo essas equações:
k_3 = 6{,}6 - 9 = -2{,}4,
k_2 = 18{,}5096 - 26 = -7{,}4904,
k_1 = 52{,}548 - 24 = 28{,}548.
Portanto os ganhos aproximados são
K = \begin{pmatrix}k_1 & k_2 & k_3\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}28{,}548 & -7{,}4904 & -2{,}4\end{pmatrix}.
Observação: como mencionei, a escolha de s_3=-5 é uma convenção prática — escolher um terceiro pólo mais à esquerda (por exemplo -8 ou -10) daria outros valores de k_i mas o par dominante continuaria a impor t_p e t_s aproximados. Em prova normalmente basta justificar a escolha de um pólo real mais rápido e apresentar os k_i resultantes.

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{C}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & -9\\[4pt]1 & -9 & 55\end{pmatrix},\quad \det(\mathcal{C})=-1, portanto o sistema é controlável.
(b) \displaystyle A-BK=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]-24-k_1 & -26-k_2 & -9-k_3\end{pmatrix}.
A equação característica em função dos ganhos é
\displaystyle s^3 + (9 + k_3)\,s^2 + (26 + k_2)\,s + (24 + k_1)=0.
(c) Com a especificação t_p=1\\ \text{s}, t_s=5\\ \text{s}, escolhendo o par dominante -0{,}8\pm j\pi e um terceiro pólo em -5, obtém-se aproximadamente
\boxed{\,K\approx\begin{pmatrix}28{,}548 & -7{,}4904 & -2{,}4\end{pmatrix}\,.}]

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