Para um sistema com a função de transferência abaixo, encontre:
G(s)=\frac{s+5}{(s+4)(s+3)(s+2)}
a) a matriz de controlabilidade e seu determinante, indicando se o sistema é controlável ou não;
b) a matriz ( A-B K ) do controlador e a equação característica em função dos ganhos do controlador;
c) os ganhos da realimentação tal que o sistema controlado apresente um tempo de pico de 1 s e um tempo de assentamento de 5 s;
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou deixar tudo bem claro para a gente não se perder):
Temos a função de transferência
G(s)=\frac{s+5}{(s+4)(s+3)(s+2)}.
O que é pedido:
(a) A matriz de controlabilidade e seu determinante; indicar se o sistema é controlável.
(b) A matriz (A-BK) do controlador e a equação característica em função dos ganhos do controlador k_1,k_2,k_3.
(c) Encontrar os ganhos de realimentação K=[k_1\; k_2\; k_3] tal que o sistema controlado apresente tempo de pico t_p=1\\ \text{s} e tempo de assentamento t_s=5\\ \text{s}.
Informações extras que vou usar (estão todas no enunciado):
O denominador está em fatores: (s+4)(s+3)(s+2).
O numerador é s+5 (grau 1, estritamente próprio pois grau denom = 3).
Não começa a resolução ainda — agora que está claro o que foi dado e o que se pede, passo à construção do modelo em forma de espaço de estados e à resolução.
Passo 2
Obter os coeficientes do polinômio do denominador e escrever o sistema na forma canônica controlável (companion).
Primeiro multiplico os fatores do denominador para identificar os coeficientes do polinômio:
(s+4)(s+3)(s+2)=(s+4)(s^2+5s+6)=s^3+9s^2+26s+24.
Logo o denominador é s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3 com
a_1=9,\quad a_2=26,\quad a_3=24.
O numerador s+5 pode ser visto como polynomial de grau até 2 (com coeficiente do s^2 igual a zero):
\text{numerador} = 0\cdot s^2 + 1\cdot s + 5.
Na forma canônica controlável (companion), para um sistema de ordem n=3 escolhemos a realização
Como \det(\mathcal{C}) = -1 \neq 0, a matriz de controlabilidade tem posto máximo e o sistema é controlável.]
Passo 5
Definir o realimentador de estados e escrever A-BK.
Usamos realimentação de estados na forma
u = -K x,\quad \text{com }K=\begin{pmatrix}k_1 & k_2 & k_3\end{pmatrix}.
A matriz fechada em malha (matriz dinâmica do sistema controlado) é
A_{cl}=A-BK.
Como B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} e K é linha, o produto BK é a matriz cujas primeiras duas linhas são zero e a terceira linha é K. Então
Explicação curta do porquê: na forma companion os coeficientes do polinômio fechado aparecem diretamente relacionados aos sinais/opostos dos elementos da última linha de A_{cl}.
Passo 7
Relacionar as especificações de tempo de resposta (t_p e t_s) com parâmetros de um pólo dominante complexo (segundo ordem aproximado).
Para um par de pólos complexos dominantes com parâmetros naturais (para um sistema de segunda ordem):
tempo de pico
t_p=\frac{\pi}{\omega_d},
onde \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} é a frequência amortecida;
tempo de assentamento (critério 2%) aproximado
t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}.
Aqui nos pediram t_p=1\\ \text{s} e t_s=5\\ \text{s}. Vou assumir que queremos que um par conjugado complexo dominante satisfaça essas relações (e que o terceiro pólo seja rápido o suficiente para não atrapalhar).
Escolher o terceiro pólo e construir o polinômio desejado de terceira ordem.
Como o sistema é de terceira ordem, vamos escolher o par dominante acima e colocar um terceiro pólo real mais à esquerda (mais rápido) para que ele não domine a dinâmica. Uma escolha típica razoável e simples é colocar o terceiro pólo em s_3=-5 (essa escolha torna-o mais rápido que os dominantes reais -0{,}8). Essa escolha é um compromisso prático: qualquer valor suficientemente negativo (por exemplo -5, -8, -10) funcionaria; aqui uso -5 para contas simples e porque está a uma ordem de magnitude que o torna não dominante.
Construo o polinômio desejado como produto:
(s - s_1)(s - s_2)(s - s_3) = \bigl(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2\bigr)(s - s_3).
Observação: como mencionei, a escolha de s_3=-5 é uma convenção prática — escolher um terceiro pólo mais à esquerda (por exemplo -8 ou -10) daria outros valores de k_i mas o par dominante continuaria a impor t_p e t_s aproximados. Em prova normalmente basta justificar a escolha de um pólo real mais rápido e apresentar os k_i resultantes.
Resposta
(a) \displaystyle \mathcal{C}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & -9\\[4pt]1 & -9 & 55\end{pmatrix},\quad \det(\mathcal{C})=-1, portanto o sistema é controlável.
(b) \displaystyle A-BK=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]-24-k_1 & -26-k_2 & -9-k_3\end{pmatrix}.
A equação característica em função dos ganhos é
(c) Com a especificação t_p=1\\ \text{s}, t_s=5\\ \text{s}, escolhendo o par dominante -0{,}8\pm j\pi e um terceiro pólo em -5, obtém-se aproximadamente