Um sistema de tecnologia ambiental tem seu desempenho de remoção de contaminantes
dado em função do tempo
, conforme a função abaixo. Calcule o valor de
para que
seja máximo. (Valor: 1,0 ponto)
Sucesso a todos!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função que mostra o desempenho de remoção de contaminantes,
, em função do tempo,
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que
seja o maior possível. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas para encontrar o ponto máximo da função.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função dada:
Para encontrar o valor de
que maximiza
, precisamos calcular a derivada de
em relação a
e igualá-la a zero. Isso porque, nos pontos máximos ou mínimos, a inclinação da curva (derivada) é zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
:
Usando a regra da cadeia para derivar a exponencial:
Substituindo de volta na derivada de
:
Passo 4
Para encontrar o ponto máximo, igualamos a derivada a zero:
Como
nunca é zero, podemos simplificar para:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que maximiza
é aproximadamente 28,82.