Um sistema de tecnologia ambiental tem seu desempenho de remoção de contaminantes R % dado em função do tempo t, conforme a função abaixo. Calcule o valor de t para que R % seja máximo. (Valor: 1,0 ponto)
R % = 100 * [1 - 0,41 * e^(-0,49 * t + 0,0085 * t^2)]
Sucesso a todos!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função que mostra o desempenho de remoção de contaminantes, , em função do tempo, . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que seja o maior possível. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas para encontrar o ponto máximo da função.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função dada:
Para encontrar o valor de que maximiza , precisamos calcular a derivada de em relação a e igualá-la a zero. Isso porque, nos pontos máximos ou mínimos, a inclinação da curva (derivada) é zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada :
Usando a regra da cadeia para derivar a exponencial:
Substituindo de volta na derivada de :

Passo 4

Para encontrar o ponto máximo, igualamos a derivada a zero:
Como nunca é zero, podemos simplificar para:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que maximiza é aproximadamente 28,82.

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