Um sistema trifásico ABC a quatro condutores apresenta \mathrm{V}_{\mathrm{AN}}=220 / 90^{\circ} \mathrm{V} e alimenta uma carga desequilibrada com \mathbf{Z}_{\mathbf{A}}=2\left|30^{\circ} \Omega, \mathbf{Z}_{\mathbf{B}}=7\right| 0^{\circ} \Omega e \mathbf{Z}_{\mathrm{C}}=5 \mid-40^{\circ} \Omega. Determine a potência ativa trifásica.
Alternativas:
(A) P \leq 20,00 \mathrm{~kW}
(B) 20,01 \mathrm{~kW} \leq P \leq 27,00 \mathrm{~kW}
(C) 27,01 \mathrm{~kW} \leq P \leq 34,00 \mathrm{~kW}
(D) 34,01 \mathrm{~kW} \leq P \leq 41,00 \mathrm{~kW}
(E) P \geq 41,01 \mathrm{~kW}

Passo 1

O que o exercício pede: determinar a potência ativa trifásica absorvida pela carga desequilibrada.
Informações fornecidas:
\mathrm{V}_{\mathrm{AN}}=220\angle 90^\circ\\ \mathrm{V}.
\mathbf{Z}_{\mathbf{A}}=2\angle 30^\circ\\ \Omega.
\mathbf{Z}_{\mathbf{B}}=7\angle 0^\circ\\ \Omega.
\mathbf{Z}_{\mathbf{C}}=5\angle -40^\circ\\ \Omega.
Observação explícita dos dados: o sistema é trifásico ABC a quatro condutores, ou seja, existe neutro e cada fase tem tensão fase-neutro igual a 220\angle 90^\circ\\ \mathrm{V} para a fase A; as fases B e C estão defasadas de -120^\circ e -240^\circ em relação à fase A, respectivamente, mas como as impedâncias são por fase e o módulo da tensão fase-neutro é o mesmo em cada fase, basta usar |V|=220\\ \mathrm{V} para calcular as potências por fase.

Passo 2

Plano de ataque e fórmula (explicação didática): como há neutro, as correntes de cada fase são independentes e a potência ativa total é a soma das potências ativas de cada fase. Para uma fase genérica com tensão fase-neutro V (fasor) e impedância Z (fasor), a corrente é
I=\frac{V}{Z}.
O complexo de potência da fase é
S=V I^*.
Substituindo I:
S=V\left(\frac{V}{Z}\right)^*=\frac{|V|^2}{Z^*}.
Se Z=|Z|\angle \theta_Z, então Z^*=|Z|\angle (-\theta_Z) e
S=\frac{|V|^2}{|Z|}\angle \theta_Z.
A potência ativa (parte real) por fase é, portanto,
P=\frac{|V|^2}{|Z|}\cos\theta_Z.
Explicando as variáveis: |V| é o módulo da tensão fase-neutro (em volts), |Z| é o módulo da impedância da fase (em ohms) e \theta_Z é o ângulo da impedância (em graus). A fórmula acima é prática porque dá direto a potência ativa usando módulo e ângulo da impedância.

Passo 3

Cálculo preliminar comum a todas as fases: |V|=220\\ \mathrm{V} então
|V|^2=220^2=48400\\ \mathrm{V}^2.

Passo 4

Potência ativa da fase A: \mathbf{Z}_{\mathbf{A}}=2\angle 30^\circ\\ \Omega. Assim |Z_A|=2 e \theta_A=30^\circ.
Usando a fórmula
P_A=\frac{|V|^2}{|Z_A|}\cos\theta_A=\frac{48400}{2}\cos 30^\circ.
Sabendo que \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254, calculamos
\frac{48400}{2}=24200
e
P_A=24200\cdot 0,8660254\approx 20957\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Potência ativa da fase B: \mathbf{Z}_{\mathbf{B}}=7\angle 0^\circ\\ \Omega. Assim |Z_B|=7 e \theta_B=0^\circ.
P_B=\frac{48400}{7}\cos 0^\circ=\frac{48400}{7}\cdot 1.
Calculando,
\frac{48400}{7}\approx 6914{,}2857\\ \mathrm{W}.
Arredondando razoavelmente, P_B\approx 6914{,}29\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Potência ativa da fase C: \mathbf{Z}_{\mathbf{C}}=5\angle -40^\circ\\ \Omega. Assim |Z_C|=5 e \theta_C=-40^\circ.
P_C=\frac{48400}{5}\cos(-40^\circ)=9680\cdot\cos 40^\circ.
Sabendo que \cos 40^\circ\approx 0{,}7660444,
P_C=9680\cdot 0{,}7660444\approx 7420{,}80\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Somando as potências ativas das três fases para obter a potência ativa trifásica total:
P_{\text{total}}=P_A+P_B+P_C\approx 20957 + 6914{,}29 + 7420{,}80.
Fazendo a soma:
P_{\text{total}}\approx 35292{,}09\\ \mathrm{W}\approx 35{,}29\\ \mathrm{kW}.
Comparação com as alternativas: 35{,}29\\ \mathrm{kW} está no intervalo 34{,}01\\ \mathrm{kW} \leq P \leq 41{,}00\\ \mathrm{kW}, que corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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